联招数学·数学归纳法与递推不等式：起手、假设与放缩衔接

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

归纳法不是三句套话，是一条不能断的链：① 起手验 n = n₀（别只写「显然成立」）；② 假设设 n = k 时命题成立，并把假设明确写成可代入的式子；③ 衔接把 S_k+1 拆成 S_k + a_k+1，代进假设后补一步放缩，证出 n = k+1 的形式一模一样。

最常断在③：只写「由假设同理可得」，没把 a_k+1 与放缩式摆出来。最后再用裂项相消或通项公式独立算几项回代。下面数据为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 归纳证明 Sₙ = Σ1/k² ≤ 2 − 1/n

自编命题：对一切正整数 n，Sₙ = 1 + 1/2² + 1/3² + ⋯ + 1/n² ≤ 2 − 1/n。

(1) 验 n = 1、2、3 三处数值。(2) 写出完整归纳证明，并明确指出衔接步所用的放缩不等式及其等价变形。(3) 说明若把命题改成 Sₙ < 2（常数上界），归纳法还能直接照搬吗？

解析

(2) 完整归纳证明：
① 起手：n=1，S₁=1=2−1/1，成立。
② 假设：设 n=k（k≥1）时 S_k ≤ 2 − 1/k 成立。
③ 衔接：S_k+1 = S_k + 1/(k+1)² ≤ (2 − 1/k) + 1/(k+1)²。
要使右端 ≤ 2 − 1/(k+1)，只需
1/(k+1)² ≤ 1/k − 1/(k+1) = 1/[k(k+1)]。
等价变形：两边同乘正数 k(k+1)² 得 k ≤ k+1，恒成立（严格成立）。于是
S_k+1 ≤ 2 − 1/k + 1/[k(k+1)] = 2 − [1/k − 1/(k(k+1))] = 2 − [(k+1−1)/(k(k+1))] = 2 − k/[k(k+1)] = 2 − 1/(k+1) ✓，形式与 n=k+1 时命题完全一致。
由①②，命题对一切正整数 n 成立。

关键登记：衔接步真的把归纳假设代进去了（S_k → 2−1/k），且补了1/(k+1)² ≤ 1/[k(k+1)] 这一步放缩；只写「同理可得」就是断链。

(3) 不能照搬。 若命题改为 S_n < 2（常数上界），按同样衔接只会得到
S_k+1 = S_k + 1/(k+1)² < 2 + 1/(k+1)²，右端比 2 大，归纳假设提供的上界「2」没有余量可被新增正项吸收，链条断掉。这正是本题把上界取成 2 − 1/n 的原因：它随 n 收紧，预留了恰好够 1/(n+1)² 的余量（余量 = 1/n − 1/(n+1) = 1/[n(n+1)]）。
要证 S_n < 2，正确做法是先证更强的命题 S_n ≤ 2 − 1/n，再令 n→∞ 取极限得 S_n < 2（或直接用 1/k² ≤ 1/[k(k−1)] 从 k≥2 裂项）。「证强命题以得弱结论」是归纳法的常规策略。

答案　(1) S₁=1=1 ✓（取等）、S₂=1.25≤1.5、S₃≈1.3611≤1.6667。(2) 起手、假设 S_k≤2−1/k、衔接用 1/(k+1)²≤1/k−1/(k+1)=1/[k(k+1)]（等价于 k≤k+1）得 S_{k+1}≤2−1/(k+1)。(3) 不能照搬：常数上界 2 无余量吸收新增正项；须先证更强的 2−1/n 再取极限。

采分点　n=1 取等 1 分；S₂=1.25 与 1.5 1 分；S₃≈1.3611 与 1.6667 1 分；写出归纳假设 1 分；把假设代入 S_{k+1} 1 分；写出放缩式 1 分；等价变形 k≤k+1 1 分；说明常数上界无余量并给「证强得弱」1 分。

易错点　起手只写「显然成立」；归纳步不把假设代入，直接「同理可得」；把 1/k−1/(k+1) 算成 1/[k(k+1)²]；放缩方向写反；以为 S_n<2 可直接照搬同一套归纳。

题2

题2 递推数列的归纳与裂项互验

自编数列：a₁ = 1/2，且 a_n+1 = aₙ + 1/[(n+1)(n+2)]（n ≥ 1）。

(1) 计算 a₂、a₃、a₁₀。(2) 猜出通项并用数学归纳法证明。(3) 用裂项相消独立求通项，与 (2) 互验；并说明归纳法与裂项法各自「验」的是什么。

解析

(2) 归纳证明：
① 起手：n=1，a₁ = 1/2 = 1 − 1/2 ✓。
② 假设：设 a_k = 1 − 1/(k+1)。
③ 衔接：a_k+1 = a_k + 1/[(k+1)(k+2)] = [1 − 1/(k+1)] + 1/[(k+1)(k+2)]。
合并后两项：−1/(k+1) + 1/[(k+1)(k+2)] = [−(k+2) + 1]/[(k+1)(k+2)] = −(k+1)/[(k+1)(k+2)] = −1/(k+2)。
故 a_k+1 = 1 − 1/(k+2)，与通项在 n=k+1 时形式一致 ✓。
由①②，a_n = 1 − 1/(n+1) 对一切 n ≥ 1 成立。

(3) 裂项相消独立互验：
1/[(j+1)(j+2)] = 1/(j+1) − 1/(j+2)。
从 a₁ 累加到 aₙ，需加 n−1 项（j = 1 到 n−1）：
aₙ = 1/2 + Σ_j=1ⁿ⁻¹ [1/(j+1) − 1/(j+2)] = 1/2 + [1/2 − 1/(n+1)] = 1 − 1/(n+1) ✓ 与归纳法一致。
逐项回代：n=2 → 1−1/3=2/3 ✓；n=3 → 1−1/4=3/4 ✓；n=10 → 10/11 ≈ 0.90909 ✓，与 (1) 全闭合。

两法各验什么：归纳法验的是「递推关系是否保持某个形式」——只用到「从 k 到 k+1 一步」，不解释这个形式从哪来；裂项相消验的是「累加的闭式结果」——把 n−1 项一次性求和，直接给出通项，但不替代对递推关系的逐步验证。两法路径独立、结果相同，构成互验；只做归纳法容易在「猜通项」这步猜错却不自察，只做裂项法则可能把起手项 a₁ 的偏移（本题从 j=1 累加、共 n−1 项）数错。两法都做，最稳。

答案　(1) a₂=2/3、a₃=3/4、a₁₀=10/11≈0.90909。(2) 通项 aₙ=1−1/(n+1)，归纳衔接合并得 −1/(k+2)。(3) 裂项 1/[(j+1)(j+2)]=1/(j+1)−1/(j+2)，累加 n−1 项得 1−1/(n+1)，与归纳法互验；归纳验递推保持形式，裂项验累加闭式。

采分点　a₂=2/3 1 分；a₃=3/4 1 分；a₁₀=10/11 1 分；猜出 1−1/(n+1) 1 分；写出归纳假设并代入 1 分；合并得 −1/(k+2) 1 分；裂项公式 1 分；累加 n−1 项得同一通项并说明两法分工 1 分。

易错点　把累加项数写成 n 项（本题只有 n−1 项）；裂项符号写反成 1/(j+2)−1/(j+1)；归纳衔接时把 (k+1)(k+2) 写成 k(k+1)；只做归纳不互验，猜错通项不自察；a₁₀ 误算成 9/10。

三、规律小结与对照表

归纳法的命门在衔接步：必须把归纳假设真的代进第 k+1 项，再补一步放缩，最后让右端长得和 n=k+1 时一模一样。题1 的关键余量是 1/(k+1)² ≤ 1/k − 1/(k+1) = 1/[k(k+1)]（等价于 k ≤ k+1）；也正因上界取 2 − 1/n 随 n 收紧才有余量，换成常数 2 就断链——想证 Sₙ<2 得先证更强命题再取极限。题2 用裂项相消独立算出同一通项：归纳验「递推保持形式」，裂项验「累加闭式」，两法互验才不会在猜通项或数项数（本题是 n−1 项）上栽跟头。本题数列与数值均为自编示意数据。

四、自测清单

• □ 起手写出 n₀ 的具体数值，不写「显然」；
• □ 归纳假设写成可代入的显式式子；
• □ 把 S_{k+1} 拆成 S_k + a_{k+1} 并代进假设；
• □ 补出关键放缩式并做等价变形验证方向；
• □ 检查右端是否与 n=k+1 的命题形式一致；
• □ 用裂项/通项独立算几项回代互验。