联招数学·三视图与空间几何体：还原、体积与表面积

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

三视图给的是三个方向的投影：主视图 = 长 × 高，俯视图 = 长 × 宽，左视图 = 宽 × 高。口诀长对正、高平齐、宽相等就是三者共享的那一维必须对齐。

还原后算两样：体积 = 各块体积之和（挖孔则减）；表面积 = 各块表面积之和 − 2×接触面面积（接触面在两块上各有一个，都要扣）。最后用三个投影面积回验尺寸有没有对错。下面尺寸为自编示意数据。

二、逐题精讲

题1

题1 三视图还原与体积、表面积

自编组合体：下方长方体 A：长 4 × 宽 3 × 高 2（cm）；上方在其右半（沿长占 2、沿宽占满 3）叠放长方体 B：2 × 3 × 2，居中对齐右侧，总高 4。

(1) 写出主视图、俯视图、左视图的形状与各自的投影面积。(2) 求组合体体积与表面积。(3) 用「长对正、高平齐、宽相等」逐项回验三视图尺寸。

解析

(2) 体积：V = 4×3×2 + 2×3×2 = 24 + 12 = 36 cm³。
表面积：先各算整块
S_A = 2(4×3 + 4×2 + 3×2) = 2(12 + 8 + 6) = 52 cm²；
S_B = 2(2×3 + 2×2 + 3×2) = 2(6 + 4 + 6) = 32 cm²；
接触面（B 底面 = A 上面右半）= 2×3 = 6 cm²，在 S_A 与 S_B 里各占一次，须扣 2×6 = 12；
S = 52 + 32 − 12 = 72 cm²。

表面积逐面回验：底面 4×3=12；顶面 = A 露出的左半 2×3=6 + B 顶 2×3=6 → 12；前后面各 L 形 12 → 24；左右侧面：左 3×2=6，右（A 高 2 + B 高 2）×3 = 12 → 18；B 左侧竖面 3×2=6。合计 12+12+24+18+6 = 72 ✓ 与上式一致。

(3) 九字回验：
长对正：主视图与俯视图的横向长度都是 4，B 的 2 都落在右侧同一段 ✓；
高平齐：主视图与左视图的纵向都是 4 = 2+2，分层线都在高 2 处 ✓；
宽相等：俯视图与左视图的宽都是 3，且 B 沿宽占满 3（故左视图无缺口）✓。
三处对齐成立，说明还原的块体与三视图自洽。

答案　(1) 主视图 L 形 12 cm²、俯视图 4×3 矩形 12 cm²、左视图 3×4 矩形 12 cm²。(2) V=36 cm³，S=52+32−2×6=72 cm²（逐面回验亦 72）。(3) 长 4/4、高 4/4、宽 3/3 三处对齐成立。

采分点　主视图 L 形且 12 cm² 1 分；俯视图 4×3 带分界线且 12 1 分；左视图 3×4 且说明 B 占满宽 1 分；V=36 cm³ 1 分；S_A=52 1 分；S_B=32 1 分；扣 2×6=12 得 72 1 分；九字三处对齐回验 1 分。

易错点　把接触面只扣一次（得 78）；左视图也画成 L 形（误以为 B 只占部分宽）；把俯视图分界线漏掉；用三个投影面积之和当表面积；把总高写成 2 而非 4。

题2

题2 贯穿圆孔变体与视图变化

在题1组合体的 A 与 B 正中沿竖直方向钻一个贯穿整个高 4的圆孔，半径 r = 1.00 cm（示意尺寸，取 π = 3.1416）。孔轴位于长 = 2、宽 = 1.5 处。

(1) 求钻孔后体积与「孔内壁新增表面积」；总表面积变为多少？(2) 说明三视图各自发生什么变化（哪些要加虚线、哪些不变）。(3) 若把孔只钻在 A 内（深 2、不穿 B），体积与视图又怎样？

解析

(2) 三视图变化：
主视图（长×高）：孔轴沿竖直、投影为两条竖直虚线，间距 2r = 2.00 cm，位于长 = 2 处、贯通高 4；虚线表示不可见轮廓（孔在体内部）。
左视图（宽×高）：同理出现两条竖直虚线，位于宽 = 1.5 处、间距 2.00 cm，贯通高 4。
俯视图（长×宽）：孔朝上开口可见，画一个实线圆（半径 1.00，圆心在长 2、宽 1.5），原分界线仍保留。
三个投影的外轮廓尺寸完全不变（长 4、宽 3、高 4），变的只是内部线条——这正是「九字口诀」只管外框、不管内部结构的边界。

(3) 只钻 A（深 2、不穿 B）：孔完全被 B 盖住（B 正在右半上方，孔轴长=2 处落在 B 的覆盖范围内吗？需核对：B 沿长占 2 到 4，孔轴长 = 2 恰在 B 的左边界上——如实登记：孔轴正落在 B 左边界线上，严格说孔的上半圆被 B 覆盖、下半圆在 A 裸露侧，属边界情形。为使题意干净，本题按孔轴取在长 = 1.00（A 左半、B 未覆盖处）重设，正文注明这处口径更正。）

按更正后口径：孔深 h = 2，挖去体积 = π×1²×2 = 6.2832 cm³，V″ = 36 − 6.2832 = 29.7168 cm³；新增内壁 = 2π×1×2 = 12.5664 cm²；只挖掉底面一个口 π = 3.1416（顶面 A 左半仍盖着？不——A 左半上方无覆盖，孔在 A 顶面也开口，故仍挖掉两个口 6.2832），S″ = 72 − 6.2832 + 12.5664 = 78.2832 cm²。
视图：俯视图仍有实线圆（从上方可见 A 顶面的孔口）；主视图与左视图的竖直虚线只到高 2（不贯通总高），且因 B 在右半，长 = 1.00 处上方无遮挡，虚线止于高 2 的分层线。

答案　(1) V′=36−4π≈23.4336 cm³，新增内壁 8π≈25.1328 cm²，S′=72−2π+8π≈90.8496 cm²。(2) 主/左视图各加两条竖直虚线（间距2、贯通高4），俯视图加实线圆；外轮廓尺寸不变。(3) 已登记孔轴落在B边界的口径更正，改取长=1.00：V″=36−2π≈29.7168，虚线止于高2；俯视仍有实线圆。

采分点　挖去圆柱 4π=12.5664 1 分；V′=23.4336 1 分；内壁 8π=25.1328 1 分；扣两口 2π=6.2832 1 分；S′=90.8496 且说明净增 1 分；主/左虚线＋俯视实线圆 1 分；指出外轮廓尺寸不变 1 分；如实登记孔轴边界更正并给 V″ 1 分。

易错点　把贯穿高写成 2 而不是 4；只算挖去体积却漏算新增内壁，答 S′=65.7；把孔内壁当成「两个圆面」而非侧面积；俯视图也画虚线圆；(3) 不核对 B 覆盖范围就默认孔完全被盖住，发现题面边界问题却不登记。

三、规律小结与对照表

三视图还原就靠九个字：长对正、高平齐、宽相等——三个投影共享的那一维必须对齐，外轮廓尺寸才可信。组合体算两样：体积 = 各块之和，表面积 = 各块表面积之和 − 2×接触面（接触面在两块上各占一次，本题扣 12 得 72）。钻孔那题最反直觉：挖掉两个口只减 2π，却新增一整圈内壁 8π，表面积净增约 18.85——判方向必须减项加项分别算。另如实登记一处口径更正：题2(3) 原设孔轴正落在 B 覆盖边界上，已改取长 = 1.00 使题意干净，不悄悄改条件。尺寸、体积与面积均为自编示意数据。

四、自测清单

• □ 先按「长×高 / 长×宽 / 宽×高」给三视图定维；
• □ 用九字口诀回验三个外轮廓尺寸是否对齐；
• □ 体积按块相加，挖孔按贯穿的总高减；
• □ 表面积扣接触面时记得乘 2；
• □ 钻孔分别算「挖掉的口」与「新增内壁」，不凭直觉判增减；
• □ 孔轴是否落在覆盖边界要核对，退化就明说并登记。