题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
几何概型只有一句公式：P = 有利区域测度 / 样本空间测度。难点全在「样本空间是哪块区域、等可能落在什么上」。会面问题里，两人各自到达时刻 (x, y) 等可能地落在正方形 [0,T]×[0,T] 内，所以测度是面积；圆内随机取点，测度也是面积；线段上取点则是长度。
三条纪律：① 先画图定区域；② 边界（等号）测度为零，带不带等号不改概率；③ 用模拟频率互验（次数足够大时应靠近理论值）。下面时段、次数与频率均为自编示意数据，不代表真实统计。
二、逐题精讲
题1
题1 会面问题的面积比
自编情境：两人约定在 0 到 60 分钟之间各自独立、均匀地到达某处，先到者等候 10 分钟后离开。求两人能见面的概率。
(1) 写出样本空间与「能见面」的条件，画出有利区域并求其面积与概率。(2) 说明为什么「恰好相差 10 分钟」这条边界不影响答案。(3) 用随机数模拟 1000 次，命中 306 次，与理论值互验。
解析
(1) 设两人到达时刻为 x, y ∈ [0, 60]（分钟），样本空间 Ω = 正方形，测度 SΩ = 60 × 60 = 3600。能见面 ⇔ |x − y| ≤ 10。
有利区域是正方形中夹在两直线 y = x − 10 与 y = x + 10 之间的带状区域。用补集更好算：不利区域是左上、右下两个全等直角三角形，每个直角边长为 60 − 10 = 50，面积各为 ½ × 50 × 50 = 1250，合计 2500。
S_A = 3600 − 2500 = 1100；
P = 1100/3600 = 11/36 ≈ 0.30556。
直接算法互验：带状面积也可写成 60² − (60−10)² = 3600 − 2500 = 1100 ✓（一般式 T² − (T−w)²，T=60、w=10）。再代一个极限检查：w=0 时 P=0（必须同时到）；w=60 时 P=1（先到者等满全程），公式两端都对。
(2) 边界 |x − y| = 10 是平面上的两条线段，面积为零。几何概型按面积测度算，零测度集合加不加都不改变积分值，故≤ 与 < 给出同一概率。注意这条只在连续型、按面积等可能时成立；若是离散计数（如整点到达），边界上的点有正概率，就不能随手丢掉。
(3) 模拟互验：频率 f = 306/1000 = 0.306；理论值 11/36 = 0.305556…，差 ≈ 0.00044，相对偏差约 0.14%，在 1000 次模拟的随机波动范围内，一致。
若模拟 10000 次，按同一理论值期望命中约 3056 次；频率应更靠近 0.3056。这里要防一个常见误读：模拟频率不是「证明」理论值，只是互验；偏差大时先查随机数是否真的在 [0,60]×[0,60] 上均匀、两次到达是否独立，而不是先改公式。
答案 (1) Ω 为 60×60 正方形 S=3600，条件 |x−y|≤10，不利两三角形各 ½·50²=1250，S_A=1100，P=11/36≈0.30556。(2) 边界为两条线段、面积为零，≤ 与 < 同概率（仅连续按面积时成立）。(3) f=0.306，与 0.30556 差约 0.00044，互验一致。
采分点 写出 Ω 与 SΩ=3600 1 分；条件 |x−y|≤10 1 分；不利区域为两直角边 50 的三角形 1 分；S_A=1100 1 分；P=11/36≈0.30556 1 分；用补集/一般式互验 1 分；说明边界零测度 1 分；模拟频率 0.306 与差 0.00044 并判一致 1 分。
易错点 把样本空间当作线段长度 60，用 10/60 得 1/6；把不利三角形直角边算成 60−5=55；把两条边界线各算 10×60 的矩形重复扣；离散整点情形下仍随手丢边界；把模拟频率当理论证明。
题2
题2 圆内取点、不同测度与「等可能」口径
(1) 在半径为 r 的圆内等可能地取一点，求它落在该圆内接正方形内的概率。(2) 若改成「在圆内随机取一条弦」，仅凭「随机」二字能否得到唯一概率？说明为什么必须指定等可能落在什么上。(3) 在线段 [0, 1] 上独立均匀取两点，把线段分成三段，求这三段能构成三角形的概率。
解析
(1) 内接正方形对角线 = 2r，边长 = 2r/√2 = √2 r，面积 = (√2 r)² = 2r²；圆面积 = πr²。P = 2r²/(πr²) = 2/π ≈ 0.63662，与 r 无关（量纲约掉，可作自检）。
这里等可能落在圆的面上，测度是面积；边界（圆周、正方形边）面积为零，不影响结果。
(2) 不能。「随机取一条弦」没有指定等可能落在哪个参数空间，不同的等可能口径给出不同答案，这就是著名的贝特朗悖论式歧义。至少三种合理口径：
· 弦的中点在圆内按面积均匀分布 → 弦长大于内接正三角形边长的概率 1/4；
· 弦的端点在圆周上均匀、固定一端 → 概率 1/3；
· 弦到圆心的距离在 [0, r] 上均匀 → 概率 1/2。
三者都对，因为「均匀」的对象不同。结论：几何概型题必须先写明样本空间与等可能的测度（面积、长度、角度、还是某个参数），否则题目本身不完备。这与 (1) 形成对照——(1) 说清了「圆内等可能取点」，答案才唯一。
(3) 设两切点为 x, y ∈ [0,1]，Ω 为单位正方形，SΩ = 1。三段长（设 x < y）：a = x，b = y − x，c = 1 − y；能构成三角形 ⇔ 每段都小于 1/2（因 a+b+c=1，三角形条件 a+b>c 等价于 c<1/2，另两个同理）。
在 x < y 的半个正方形（面积 1/2）中，满足 x < 1/2、y − x < 1/2、y > 1/2 的区域是一个直角边 1/2 的小三角形，面积 = ½ × (1/2) × (1/2) = 1/8；由对称性，y < x 的半边同样 1/8，合计 S_A = 1/4。
P = (1/4)/1 = 1/4。
回验：三段中「最长段 ≥ 1/2」的概率为 3/4（三段对称，任一成为最长且 ≥1/2 的三块各 1/4），1 − 3/4 = 1/4 ✓。
答案 (1) P=2/π≈0.63662，与 r 无关。(2) 不能唯一；中点按面积/端点按圆周/距离按长度均匀分别得 1/4、1/3、1/2，须指定等可能的对象与测度。(3) P=1/4，由「每段<1/2」得有利面积 1/4，或用 1−3/4 回验。
采分点 内接正方形边长 √2 r、面积 2r² 1 分；P=2/π 并指出与 r 无关 1 分；指出「随机取弦」口径不完备 1 分；列出三种口径与 1/4、1/3、1/2 1 分；三角形条件化为「每段<1/2」1 分；有利面积 1/4 1 分；P=1/4 1 分；用 1−3/4 或对称性回验 1 分。
易错点 把内接正方形边长当成 r；用周长比 4√2 r/(2πr) 代替面积比；以为「随机」二字天然唯一；(3) 只考虑 x<y 却忘了乘 2，得 1/8；把三角形条件写成「两段之和>第三段」后不化简到每段<1/2。
三、规律小结与对照表
| 题型 | 样本空间 | 测度 | 有利区域 | 概率 | 要点 |
|---|---|---|---|---|---|
| 会面问题 | [0,60]² 正方形 | 面积 3600 | |x−y|≤10 带状 1100 | 11/36≈0.30556 | 用补集两三角形 |
| 边界 | 两条线段 | 面积 0 | — | 不变 | 仅连续按面积成立 |
| 圆内取点 | 半径 r 的圆面 | 面积 πr² | 内接正方形 2r² | 2/π≈0.63662 | 与 r 无关 |
| 随机取弦 | 未指定 | 面积/弧长/距离皆可 | — | 1/4,1/3,1/2 | 必须指定等可能对象 |
| 切两段成三段 | [0,1]² 正方形 | 面积 1 | 三段皆<1/2 → 1/4 | 1/4 | 两半对称各 1/8 |
| 模拟互验 | 1000 次 | 频率 306/1000=0.306 | — | ≈0.30556 | 互验非证明 |
| 自检 | — | 量纲 | — | — | 比值须与尺度无关 |
几何概型就一句 P = 有利测度 / 样本空间测度，功夫全在「等可能落在哪块区域上」。会面问题落在正方形面积上，用补集两三角形最省；圆内取点落在圆面面积上，2/π 与 r 无关可作自检；「随机取一条弦」若不指定口径，1/4、1/3、1/2 都对——题目不完备，不是答案不唯一。两条纪律：边界在连续测度下为零（离散整点时不能随手丢）、模拟频率是互验不是证明，偏差大先查随机数是否真的均匀独立。本题时段、次数、频率与半径均为自编示意数据，不代表任何真实统计。
四、自测清单
- □ 先写出样本空间与「等可能落在什么上」；
- □ 会面问题用补集算两三角形，别硬积分；
- □ 检查概率是否与尺度（r、T 的单位）无关；
- □ 连续型边界测度为零，离散型不可随手丢；
- □ 遇「随机取弦」类先判题目是否指定口径；
- □ 模拟频率与理论值互验，偏差大先查随机数。
