联招物理·霍尔效应测磁感应强度：U_H 的符号与厚度

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

霍尔元件是一片薄片：电流沿长度方向流，磁场垂直片面穿入，霍尔电压在宽度方向两侧量到。公式 U_H = R_H I B / d 里的 d 是沿磁场方向的厚度——片越薄，同样 B 下 U_H 越大。把 d 记成片宽或片长，结果会差一个数量级。

第二步看符号：载流子为电子（n 型）与为空穴（p 型）时，洛伦兹力方向相同但电荷符号相反，积累在两侧的电荷极性相反，U_H 反号。第三步做反向互验：B 反向，U_H 翻号、大小不变，可消掉不等势电势等固定偏置。下面数据为自编示意，不代表真实器件参数。

二、逐题精讲

题1

题1 由 U_H 求 B 与几何量判定

自编元件：矩形薄片，电流沿长度方向 I = 2.00 mA，磁场垂直片面、大小待测，沿磁场方向的厚度 d = 0.200 mm；片长 8.00 mm、片宽 4.00 mm（均不进入 U_H 公式的 d）。载流子浓度 n = 5.00×10²² m⁻³，电荷量大小 q = 1.602×10⁻¹⁹ C。测得霍尔电压 U_H = 0.3745 mV。

(1) 写出霍尔系数 R_H 与 U_H 的表达式，说明为什么 d 取 0.200 mm 而不是 8.00 mm 或 4.00 mm。(2) 求 R_H 与磁感应强度 B。(3) 若把 d 误取为片宽 4.00 mm，算出的 B 变为多少？偏大还是偏小？

解析

(2) R_H = 1/(5.00×10²² × 1.602×10⁻¹⁹) = 1/8010 = 1.2484×10⁻⁴ m³/C。
由 U_H = R_H I B / d 得
B = U_H d /(R_H I) = (3.745×10⁻⁴ V × 2.00×10⁻⁴ m) / (1.2484×10⁻⁴ × 2.00×10⁻³ A)
分子 = 7.490×10⁻⁸；分母 = 2.4968×10⁻⁷；
B = 7.490×10⁻⁸ / 2.4968×10⁻⁷ = 0.300 T。

正向回代：U_H = 1.2484×10⁻⁴ × 2.00×10⁻³ × 0.300 / 2.00×10⁻⁴ = 1.2484×10⁻⁴ × 3.00 = 3.745×10⁻⁴ V = 0.3745 mV ✓ 与题给一致。

(3) 若 d′ = 4.00 mm = 4.00×10⁻³ m（是真实 d 的 20 倍），则
B′ = 0.300 × (4.00/0.200) = 6.00 T。
因为 B = U_H d/(R_H I) 与 d 成正比，d 记大 → B 偏大 20 倍。这与 00329 电流天平里「B 与 L 成反比」方向相反：两式的 d/L 分别落在分子与分母上，判误差方向必须先看量在哪一侧，不能背结论。

答案　(1) R_H=1/(nq)，U_H=R_H·IB/d；d 为沿 B 方向厚度（推导中片宽约掉、片长不进入）。(2) R_H=1.2484×10⁻⁴ m³/C，B=0.300 T。(3) d 取 4.00 mm 得 B=6.00 T，偏大 20 倍。

采分点　写出 R_H=1/(nq) 1 分；写出 U_H=R_H·IB/d 1 分；说明片宽在推导中约掉 1 分；说明片长不进入公式 1 分；R_H=1.2484×10⁻⁴ 1 分；单位换算 d=2.00×10⁻⁴ m 1 分；B=0.300 T 1 分；d 记大→B 偏大 20 倍并指出与电流天平方向不同 1 分。

易错点　把 0.3745 mV 当成 0.3745 V；把 n 的单位 m⁻³ 与 cm⁻³ 混用；把片宽当 d；套 B=U_H/(R_H I d) 把 d 放到分母；直接背「记大偏小」而不看 d 在分子。

题2

题2 反向互验、载流子符号与偏置消除

沿用题1元件与 B = 0.300 T。保持 I 不变，把磁场反向，测得 U_H′ = −0.3745 mV；另在不加磁场时测到两侧存在一个固定的不等势电势 U₀ = +0.0200 mV。

(1) 说明反向后 U_H 翻号而大小不变的原因，并用两次读数给出消去 U₀后的净霍尔电压。(2) 若只做一次测量而不反磁场，测得值中会混入什么？ B 会被算成多少？(3) 若换用空穴导电的 p 型薄片（同 n、同 |q|、同 I、同 B），U_H 的符号与大小如何变化？

解析

(2) 只测一次，读数里会混入 U₀ = +0.0200 mV 这个不随磁场反向的固定偏置（来源：两霍尔电极未严格等势、接触电势、温差电势等）。若直接拿 0.3945 mV 当 U_H，
B_wrong = 0.300 × (0.3945/0.3745) = 0.316 T，偏大约 +5.34%。单靠一次测量无法自察，这正是反向互验的价值。

(3) 洛伦兹力 F = q v × B 中 q 由 −e 变为 +e（且漂移速度方向随载流子类型相应改变），两侧积累电荷的极性整体对调，故 U_H 反号；因 n、|q|、I、B、d 全同，|R_H| = 1/(n|q|) 不变，大小仍为 0.3745 mV。
所以符号判类型、大小测 B：n 型（电子）与 p 型（空穴）在同向 I、B 下给出相反极性的 U_H。这也解释了为什么公式常写 R_H = 1/(nq) 而 q 带符号——把 q 的正负保留，U_H 的符号就自动跟着走。

答案　(1) U_H∝B，反向翻号大小不变；U₊=0.3945、U₋=−0.3545 mV，半差得净 0.3745 mV、半和还原 U₀=0.0200 mV，B 仍 0.300 T。(2) 混入固定不等势电势 U₀，单次得 B≈0.316 T，偏大约 5.34%。(3) p 型 U_H 反号、大小不变（|R_H| 同）。

采分点　说明 U_H∝B 故翻号 1 分；写出 U₊/U₋ 两式 1 分；半差消去 U₀ 得 0.3745 mV 1 分；半和还原 0.0200 mV 1 分；回算 B=0.300 T 1 分；单次混入 U₀ 1 分；B≈0.316 T 与 +5.34% 1 分；p 型反号、大小不变并点明符号判类型 1 分。

易错点　把反向后 U_H′ 直接当成净霍尔电压，漏加 U₀；用 (U₊+U₋)/2 当霍尔电压（那是偏置）；把偏置说成随 B 反向也翻号；以为换 p 型后 |U_H| 也变；把半差与半和的作用写反。

三、规律小结与对照表

霍尔法测 B 只抓三件事：d 是沿磁场的厚度（片宽在推导里约掉、片长不进入）、U_H = R_H·IB/d、反向磁场做半差互验。半差 (U₊−U₋)/2 消掉不等势电势这类固定偏置，半和则把它还原出来；只测一次会把偏置算进 B，本题就偏大 5.34%。U_H 的符号判载流子类型、大小测 B。最后记一条与 00329 的对照：那里 B∝1/L（分母记大偏小），这里 B∝d（分子记大偏大），判误差方向先看量在哪一侧。本题电流、磁场、厚度、浓度与电压均为自编示意数据，不代表任何真实器件参数。

四、自测清单

• □ 先确认 d 是沿 B 方向的厚度，片宽片长不代入；
• □ 浓度用 m⁻³、电压用 V、厚度用 m 再代公式；
• □ R_H 里 q 保留符号，便于判载流子类型；
• □ 正反磁场各测一次，用半差消偏置、半和还原偏置；
• □ 回代 U_H=R_H·IB/d 验 B；
• □ 判误差方向先看该量落在分子还是分母。