联招物理·最小偏向角法测玻璃折射率

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

公式先摆好：对顶角 A 的三棱镜，当偏向角取最小值 δ_min 时，光路关于棱镜对称：i₁ = i₂ = (A + δ_min)/2，r₁ = r₂ = A/2。由折射定律得
n = sin[(A + δ_min)/2] / sin(A/2)。

三个动作：δ_min 由「入射光方向」与「最小偏向时的出射光方向」两个刻度读数之差得到（不是直接给一个数就代）；验对称（把 i₁、r₁ 代回折射定律看是否回到同一个 n）；判误差方向——A 在分母的 sin(A/2) 里、δ 只在分子，记偏要分别代回。下面顶角、刻度与 n 均为自编示意数值，不代表真实测量。

二、逐题精讲

题1

题1 由读数求折射率并验对称

自编示意：三棱镜顶角 A = 60.0°。分光计上读得入射光方向刻度 120°30′，转动棱镜找到最小偏向位置时出射光方向刻度 157°42′。

(1) 求最小偏向角 δ_min（用度表示）；(2) 求折射率 n；(3) 验算 i₁ = i₂ 与 r₁ = r₂，并用它们代回折射定律核对 n。

解析

(2) (A + δ_min)/2 = (60.0 + 37.2)/2 = 48.6°；A/2 = 30.0°。
n = sin48.6° / sin30.0° = 0.750111 / 0.5000 = 1.50022 ≈ 1.50。
数量级自检：常见玻璃折射率约 1.5，1.50 落在合理区间；若算出 0.75 或 2.0，先回查分子分母是否颠倒。

(3) 对称条件：i₁ = i₂ = (A+δ)/2 = 48.6°，r₁ = r₂ = A/2 = 30.0°。两处折射角之和 r₁+r₂ = 60.0° = A ✓，与棱镜几何一致。
代回折射定律：n = sin i₁ / sin r₁ = sin48.6°/sin30.0° = 0.750111/0.5 = 1.50022，与(2)完全相同 ✓；出射侧 n = sin i₂ / sin r₂ 同样得 1.50022 ✓。
为什么必须对称：偏向角 δ 随入射角 i₁ 变化，在 i₁ = i₂ 处取极小（dδ/di₁ = 0）。若未转到最小偏向位置就读数，δ 偏大，代入公式会把 n 算大；所以实验中要缓慢转动棱镜、盯住谱线反转的那个位置再读数。

答案　(1) δ_min=37°12′=37.2°；(2) n=sin48.6°/sin30.0°≈1.50；(3) i₁=i₂=48.6°、r₁=r₂=30.0°，r₁+r₂=A=60.0°，代回折射定律得同一 n=1.50；须在最小偏向（对称）位置读数。

采分点　两读数相减 1 分；分转度 1 分；37.2° 1 分；(A+δ)/2=48.6° 1 分；sin30=0.5 1 分；n≈1.50 1 分；对称条件两式 1 分；r₁+r₂=A 回验 1 分；折射定律代回 1 分；说明最小偏向位置 1 分。

易错点　把 157°42′ 直接当 δ；把 12′ 换算成 0.12°；公式写成 sin(A/2)/sin[(A+δ)/2]（倒置）；漏验 r₁+r₂=A；不在最小偏向位置读数却仍套公式；忘记说明「两游标取平均消偏心」这一规范。

题2

题2 参数记偏的误差方向与未到极小的判据

(1) 若把 δ_min 误读成 37.0°（顶角仍按 60.0°），求算出的 n，并判断偏大还是偏小、偏多少；(2) 若顶角实际为 60.2°，但记录时仍按 60.0° 代入（δ 仍 37.2°），求算出的 n 并判断方向；(3) 若尚未转到最小偏向位置，读得 δ = 39.0°，求按公式算出的 n，并说明这个数为什么不能作为折射率报告值。

解析

(2) 本题要分清「记录值算出的 n」与「真实棱镜应有的 n」，且 A 同时出现在分子与分母，不能只看一半：
按记录 A = 60.0° 代入：(60.0+37.2)/2 = 48.6°，A/2 = 30.0°，得 n_rec = sin48.6°/sin30.0° = 0.750111/0.5000 = 1.5002。
真实棱镜 A = 60.2°（δ 实测仍 37.2°）：(60.2+37.2)/2 = 48.7°，A/2 = 30.1°，得 n_true = sin48.7°/sin30.1° = 0.751264/0.501511 = 1.4980。
故按 60.0° 代入算出的 1.5002 比真实值偏大约 0.15%。
逐项拆开看：分子从 sin48.7° 降到 sin48.6°（变小，使 n 偏小），分母从 sin30.1° 降到 sin30.0°（变小，使 n 偏大）；两项同时作用，分母的相对变化更大（0.501511→0.5000 相对 −0.30%，分子 0.751264→0.750111 相对 −0.15%），合力为偏大。这正是本题要练的：A 记偏时分子分母都动，必须逐项代回再比相对变化，不能凭「A 在分母」一句话定方向。

(3) δ = 39.0° 时 (60.0+39.0)/2 = 49.5°，n′ = sin49.5°/sin30.0° = 0.760406/0.5000 = 1.5208。
不能作为折射率报告值：公式 n = sin[(A+δ)/2]/sin(A/2) 的成立前提是 δ 取最小值（光路对称、i₁=i₂）。δ=39.0° > δ_min=37.2° 说明棱镜还没转到反转位置，此时 i₁ ≠ i₂、r₁ ≠ r₂，对称关系不成立；把非极小的 δ 代进去，等于把公式用在前提之外，得到的 1.5208 是一个偏大的伪值（δ 越大分子越大）。
实验判据：慢慢转动棱镜，谱线会向一个方向移动、到某位置反向——那个反转点才是 δ_min；读数前必须确认已过反转点，且用两游标读数平均消偏心。

答案　(1) δ 记 37.0° 得 n≈1.4979，偏小约 0.15%（δ 只在分子）；(2) 按记录 A=60.0° 代入得 n_rec=1.5002，真实 A=60.2° 的棱镜应为 n_true=1.4980，故偏大约 0.15%——分子分母同时随 A 变，分母相对变化更大，须逐项代回；(3) 未到极小 δ=39.0° 得 1.5208，因对称前提不成立，是偏大的伪值，不能报告。

采分点　(1) 48.5° 与 1.4979 1 分；方向判据 1 分；(2) 指出分子分母同时含 A 1 分；真实值 1.4980 1 分；记录值 1.5002 1 分；偏大 0.15% 1 分；(3) 49.5° 与 1.5208 1 分；说明对称前提不成立 1 分；说明 δ>δ_min 导致偏大伪值 1 分；写出反转点判据 1 分。

易错点　(2) 只看分母就判「偏小」，漏掉分子也含 A；把「按记录值算出的 n」与「真实 n」混为一谈；(3) 把 1.5208 当正常测量值报告；不知道最小偏向位置要靠谱线反转来判；忽略两游标平均消偏心。

三、规律小结与对照表

最小偏向角法三句话：δ_min 是两方向读数之差；公式只在 i₁=i₂、r₁=r₂=A/2 的对称位置成立；判误差方向要逐项代回——δ 只进分子好判，A 却同时进分子与分母，只看一半会判反。没转到谱线反转点就读数，δ 偏大、算出的 n 是偏大的伪值，不能报告。A=60.0°、37°12′、n≈1.50、1.4980 与 1.5208 均为自编示意数值，不代表真实测量；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

• □ δ 由入射与出射两个方向读数相减，别把单个刻度当代入；
• □ 代公式前先写对称条件 i₁=i₂=(A+δ)/2、r₁=r₂=A/2；
• □ 用 sin i₁/sin r₁ 回验 n 与主公式一致；
• □ δ 记偏只影响分子；A 记偏分子分母都动，逐项算；
• □ 确认已过谱线反转点（δ 极小）再读数；
• □ 两游标分别取差再平均，消除偏心。