题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
折叠题先写一句不变量清单：折痕上的点不动；被翻起的那一半图形形状全等（边长、对角线、点到折痕的垂距都不变）；只有两半平面之间的二面角 θ 在变。于是求空间距离时，常把「翻起的点」投影到折痕上，用不变的那段垂距配合 θ 分解。
本题取正方形 ABCD 边长 2，沿对角线 BD 把 △ABD 翻到 △PBD（A→P）。设 O 为 BD 中点（也是正方形中心）：AO = √2、BD = 2√2、OC = √2，这三个量折叠后一律不变。以 O 为原点、BD 为 x 轴、平面 BCD 为 xy 平面建系，可把任意 θ 下的 P 写出来。下列边长与角度均为自编示意数值。
二、逐题精讲
题1
题1 折成直二面角（90°）
把 △ABD 沿 BD 翻起，使平面 PBD ⊥ 平面 BCD（θ = 90°）。
(1) 求 P 到平面 BCD 的距离；(2) 求 PC 的长；(3) 说明 P 到 BD 的距离为什么仍等于 √2，并指出翻折过程中改变了与没改变的量各两例。
解析
(1) 折叠前 A 到 BD 的垂距 = 正方形边长 2 的对角线一半的一半？直接算：S△ABD = ½·2·2 = 2 = ½·BD·AO = ½·2√2·AO，故 AO = 2/(√2) = √2。翻折后 PO = AO = √2（不变量），且平面 PBD ⊥ 平面 BCD、PO 在平面 PBD 内且垂直于交线 BD，故 PO ⊥ 平面 BCD，即 P 到平面 BCD 的距离 = √2。(2) 用坐标回验：B(−√2,0,0)、D(√2,0,0)、C(0,√2,0)、P(0,0,√2)。
PC² = (0−0)² + (0−√2)² + (√2−0)² = 2 + 2 = 4 → PC = 2。
另一路（勾股）：PO ⊥ 平面 BCD ⇒ PO ⊥ OC，故 PC² = PO² + OC² = 2 + 2 = 4，同样得 PC = 2。两路互验，说明「不变量 PO=OC=√2」用对了。
(3) P 到 BD 的距离仍为 √2，因为 △PBD 与 △ABD 全等——翻折是刚性转动，绕轴 BD 旋转不改变图形内部任何距离；A 到 BD 的垂足就是 O，故 PO = AO = √2。
没改变：① 各边长（AB=AD=PB=PD=2，BC=CD=2）；② 到折痕的垂距 AO=PO=√2、以及 BD=2√2、OC=√2。
改变了：① 二面角 A-BD-C（由 180° 的平角变为 90°）；② A（即 P）与 C 之间的空间距离 —— 未折时 AC 是正方形对角线 2√2 ≈ 2.828，折成 90° 后 PC = 2；③ P 到平面 BCD 的距离由 0 变为 √2。
易错提醒：不要把「A 到 BD 的距离」与「A 到 C 的距离」混为一谈，前者是不变量、后者随 θ 变。
答案 (1) P 到平面 BCD 距离 = √2；(2) PC = 2（坐标法与 PO⊥OC 勾股两路一致）；(3) 因 △PBD≌△ABD 刚性转动，PO=AO=√2；不变：边长、到折痕垂距/BD/OC；变：二面角、AC 由 2√2→2、P 到平面 BCD 距离 0→√2。
采分点 由面积求 AO=√2 1 分；指出 PO=AO 不变量 1 分；说明 PO⊥平面 BCD 1 分；距离 √2 1 分；坐标或勾股求 PC²=4 1 分；PC=2 1 分；解释刚性转动/全等 1 分；不变两例 1 分；改变两例 1 分。
易错点 把 AO 算成 1 或 2；认为翻折后 PB、PD 变了；把 P 到平面 BCD 的距离写成 PO 在平面内的投影；算 PC 时漏掉 z 分量；把未折时 AC=2√2 当成折后 PC；混淆「到折痕距离」与「到 C 的距离」。
题2
题2 一般二面角 θ 与通式回验
设平面 PBD 与平面 BCD 的二面角为 θ（0 < θ ≤ 90°），仍用上题的正方形与坐标系。
(1) 写出 P 的坐标（用 θ 表示）；(2) 推出 PC² 关于 θ 的表达式，并分别验算 θ = 0°（未折）、θ = 60°、θ = 90° 三种情形；(3) 求 θ = 60° 时 P 到平面 BCD 的距离与 PC，并说明 θ = 0° 的结果为什么恰好是正方形对角线长。
解析
(1) 翻折前 A = (0, −√2, 0)（在 xy 平面内、位于 BD 的 −y 侧），C = (0, √2, 0)。绕 x 轴（BD）转过 θ 后，P 到 BD 的垂距仍为 √2，其在 yz 平面内的方向由 −y 向 +z 旋转 θ：P = (0, −√2·cosθ, √2·sinθ)。验：θ=90° → (0, 0, √2)，与题1 一致 ✓；θ=0° → (0, −√2, 0) = A ✓。
(2) 向量 OP = (0, −√2cosθ, √2sinθ)，OC = (0, √2, 0)，|OP| = |OC| = √2，OP·OC = −2cosθ。故
PC² = |OP|² + |OC|² − 2·OP·OC = 2 + 2 + 4cosθ = 4 + 4cosθ。
逐项验：θ=0° → PC² = 8 → PC = 2√2（正方形对角线 AC）✓；θ=60° → PC² = 4+4×0.5 = 6 → PC = √6 ≈ 2.449；θ=90° → PC² = 4 → PC = 2，与题1 两路一致 ✓。
也能直接用坐标差：PC² = (√2 + √2cosθ)² + (√2sinθ)² = 2(1+cosθ)² + 2sin²θ = 2(1+2cosθ+cos²θ+sin²θ) = 4 + 4cosθ ✓，两路闭合。
(3) θ = 60°：P 到平面 BCD 的距离即 z 坐标 = √2·sin60° = √6/2 ≈ 1.225；PC = √6（由上）。此时 P 在平面 BCD 内的投影为 (0, −√2/2, 0)，仍在 BD 的 −y 侧但已抬起，与「翻起一半」的图景一致。
θ=0° 恰为对角线长：θ=0 表示根本没翻，P 与 A 重合、四点共面，PC 就是正方形的对角线 AC = √(2²+2²) = 2√2。这一端点回验很有用——若通式在 θ=0 给不出 2√2，说明坐标或夹角定义反了；同理 θ=90° 必须回到题1 的 2。
答案 (1) P=(0, −√2cosθ, √2sinθ)；(2) PC²=4+4cosθ；θ=0°→2√2，60°→√6，90°→2，三端点均与前面一致；(3) θ=60° 时距离 √6/2、PC=√6；θ=0 即未折，PC 为正方形对角线 2√2。
采分点 写出 P 坐标 1 分；验 θ=90°/0° 两端点 1 分；向量法得 OP·OC=−2cosθ 1 分；PC²=4+4cosθ 1 分；坐标差法回验 1 分；三个 θ 值各 1 分；(3) 距离 √6/2 1 分；解释 θ=0 未折且等于对角线 1 分。
易错点 把 P 的 y 分量写成 +√2cosθ（方向反，θ=0 时落到 C 侧）；把二面角 θ 定义成平面 PBD 与 xy 平面的补角；PC² 写成 4−4cosθ；θ=0 时误给 PC=2；忘记 P 到平面距离是 z 分量而不是 PO=√2。
三、规律小结与对照表
| 量 | 折前（θ=0） | θ=60° | θ=90° | 是否不变量 |
|---|---|---|---|---|
| 到折痕垂距 PO | √2 | √2 | √2 | 不变（刚性转动） |
| 边长 PB=PD=AB | 2 | 2 | 2 | 不变 |
| BD / OC | 2√2 / √2 | 同 | 同 | 不变 |
| P 到平面 BCD | 0 | √6/2≈1.225 | √2 | 变 |
| 二面角 | 180°(平) | 60° | 90° | 变 |
| PC | 2√2 | √6≈2.449 | 2 | 变 |
| 通式 | PC²=4+4cosθ | 6 | 4 | θ=0 给 8 ✓ |
| P 坐标 | (0,−√2,0) | (0,−√2/2,√6/2) | (0,0,√2) | — |
折叠题只靠一句站住：绕折痕刚性转动，被翻起那一半自身的所有长度与角度都不变。于是 PO=√2 永远成立，变的是二面角 θ 与跨半平面的距离；把 P 写成 (0,−√2cosθ, √2sinθ) 后，PC²=4+4cosθ 一个式子把 θ=0°（对角线 2√2）、60°（√6）、90°（2）三个端点全串起来，端点回验比多算十遍都稳。边长 2、√2、√6 均为自编示意数值；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
四、自测清单
- □ 先列不变量清单：折痕上的点、各边长、到折痕垂距；
- □ 认准「到折痕距离」与「跨半平面距离」不是一回事；
- □ 以折痕为 x 轴、底面为 xy 平面建系，写出 P 的坐标；
- □ 用向量点积或坐标差推 PC²，再代 θ=0°/90° 两端点回验；
- □ θ=0 必须回到未折时的正方形对角线；
- □ P 到平面距离取 z 分量，别写成 PO=√2。
