联招数学·三角给值求值：角的配凑与齐次式

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

给值求值先做两件不显眼但决定对错的事：① 把 α 的范围写下来，它决定开方取哪个符号；② 把要求的角改写成已知角的组合（如 π/2+2α = 2(π/4+α)），别一上来就展开一堆公式。

三个固定工具：(sinα ± cosα)² = 1 ± sin2α；cos(π/2+2α) = −sin2α、sin(π/2+2α) = cos2α；齐次式（分子分母关于 sinα、cosα 同次）可同除 cosα 化成 tanα 的式子。下面函数值与角度均为自编示意数值。

二、逐题精讲

题1

题1 由 sinα + cosα 求值与定号

已知 sinα + cosα = 1/2，且 α ∈ (0, π)（自编示意条件）。

(1) 求 sin2α；(2) 求 sinα − cosα，并说明为什么取正号；(3) 求 sinα、cosα 与 tanα，并验算 sin²α + cos²α = 1。

解析

(2) (sinα − cosα)² = 1 − sin2α = 1 + 3/4 = 7/4，故 |sinα − cosα| = √7/2。
定号：由 sin2α = −3/4 < 0 且 α ∈ (0, π)，知 2α ∈ (π, 2π)，即 α ∈ (π/2, π)：此时 sinα > 0、cosα < 0，故 sinα − cosα > 0，取 √7/2。
（也可由 sinα+cosα = 1/2 > 0 与 α 在第二象限一并确认：|cosα| 略小于 sinα，和为正、差为更大正数，自洽。）

(3) 由和与差解二元一次：
sinα = [(1/2) + (√7/2)]/2 = (1+√7)/4，cosα = [(1/2) − (√7/2)]/2 = (1−√7)/4。
数值：√7 ≈ 2.6458 → sinα ≈ 0.9114，cosα ≈ −0.4114（确为第二象限）。
tanα = sinα/cosα = (1+√7)/(1−√7)，分母有理化：= (1+√7)²/(1−7) = (8+2√7)/(−6) = −(4+√7)/3 ≈ −2.2153。
验算：sin²α+cos²α = [(1+√7)²+(1−√7)²]/16 = [2(1+7)]/16 = 16/16 = 1 ✓；再验 sin2α = 2sinαcosα = 2·[(1−7)/16] = 2·(−6/16) = −3/4 ✓，与(1)一致。两路互验说明取号与配凑都没错。

答案　(1) sin2α=−3/4；(2) sinα−cosα=√7/2（因 α∈(π/2,π)，sin>0、cos<0 取正）；(3) sinα=(1+√7)/4，cosα=(1−√7)/4，tanα=−(4+√7)/3；两路验算均闭合。

采分点　平方得 1+sin2α 1 分；sin2α=−3/4 1 分；由 sin2α<0 与 α∈(0,π) 定出第二象限 1 分；取正号说明 1 分；(sin−cos)²=7/4 与 √7/2 1 分；sinα、cosα 各 1 分；tanα 有理化 1 分；两路验算 1 分。

易错点　开方不判号，直接写 ±√7/2；把 α∈(0,π) 与 sin2α<0 推成 α∈(0,π/2)；tanα 有理化时把 (1+√7)² 算成 8+√7；验算只做 sin²+cos² 而不回代 sin2α；把 cosα 写成 (√7−1)/4（符号反）。

题2

题2 角的配凑与齐次式

已知 cos(π/4 + α) = 3/5，且 α ∈ (−π/4, π/4)（自编示意条件）。

(1) 求 sin(π/4 + α)；(2) 用「把 π/2 + 2α 配凑成 2(π/4+α)」的方法求 sin2α 与 cos2α；(3) 求 (sin2α + cos2α)/(sin2α − cos2α)，并说明齐次式化 tan 的另一种解法。

解析

(2) 配凑：π/2 + 2α = 2θ。于是
cos(2θ) = 2cos²θ − 1 = 2·(9/25) − 1 = 18/25 − 1 = −7/25，而 cos(π/2+2α) = −sin2α，故 −sin2α = −7/25 → sin2α = 7/25。
sin(2θ) = 2 sinθ cosθ = 2·(4/5)(3/5) = 24/25，而 sin(π/2+2α) = cos2α，故 cos2α = 24/25。
回验：sin²2α + cos²2α = (49+576)/625 = 625/625 = 1 ✓；又由 cos2α = 24/25 > 0 知 2α ∈ (−π/2, π/2)，与 α ∈ (−π/4, π/4) 一致 ✓。

(3) 直接代：(7/25 + 24/25)/(7/25 − 24/25) = (31/25)/(−17/25) = −31/17。
齐次式化 tan 的另一解法：分子分母关于 sin2α、cos2α 同为一次，同除 cos2α（此处 cos2α = 24/25 ≠ 0）得 (tan2α + 1)/(tan2α − 1)；而 tan2α = (7/25)/(24/25) = 7/24，代入得 (7/24+1)/(7/24−1) = (31/24)/(−17/24) = −31/17，两路一致。
方法对比：配凑法把目标角直接换成已知角的两倍，避开解 α 本身；齐次式法在「只给 tan」或「不给具体 sin、cos」时更省事。两法都可，但都必须先确认分母不为 0（本题 sin2α − cos2α = −17/25 ≠ 0）。

答案　(1) sinθ=4/5（θ∈(0,π/2)）；(2) sin2α=7/25，cos2α=24/25（由 π/2+2α=2θ）；(3) 值 −31/17；齐次式同除 cos2α 化为 (tan2α+1)/(tan2α−1)，tan2α=7/24 得同一结果。

采分点　由范围定 sinθ>0 1 分；sinθ=4/5 1 分；写出 π/2+2α=2θ 1 分；cos2θ=−7/25 与 sin2α 1 分；sin2θ=24/25 与 cos2α 1 分；平方和回验 1 分；直接代入得 −31/17 1 分；齐次式化 tan 两路一致 1 分；说明分母不为 0 1 分。

易错点　漏范围直接写 sinθ=±4/5；把 cos(π/2+2α) 写成 +sin2α（符号反）；把 sin(π/2+2α) 写成 −cos2α；把 2θ 展开成 θ 的加减角硬算；齐次式同除时忽略 cos2α≠0 的前提；把 (31/25)/(−17/25) 算成 −17/31。

三、规律小结与对照表

给值求值的顺序是「先定范围 → 再配凑角 → 最后回代验算」：范围管开方符号，配凑把目标角换成已知角的两倍，回代用 sin²+cos²=1 或 sin2α 两路互验。齐次式同除 cos 是另一条捷径，但先确认分母不为零。1/2、3/5、√7/2、7/25 与 24/25 均为自编示意数值；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

• □ 先把 α 的范围写在草稿纸上，再开任何平方；
• □ 由 sin2α 的符号反推 α 所在象限，定 sin−cos 取号；
• □ 遇到 π/4+α 先试「目标角 = 2×已知角」；
• □ 诱导公式的符号单独核一遍（cos(π/2+x)=−sinx）；
• □ 齐次式同除 cos 前确认 cos≠0、分母≠0；
• □ 至少用平方和与 sin2α 两路回验。