题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
复数题有个很省力的习惯：每写出一个模，就顺手在复平面上画一句「这是谁到谁的距离」。|z| 是 z 到原点 O 的距离；|z−(1+i)| 是 z 到点 (1,1) 的距离；|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|，把商的长度拆成两个长度之比。代数与几何对得上，答案就不容易跑偏。
两个固定动作：除法先分母实数化（乘分母的共轭，z₂·z̄₂ = |z₂|² 是实数）；含 |z−z₀|=r 的条件先认出它是圆，圆心 z₀、半径 r，再用「圆心到原点距离 d 与 r 的和差」求 |z| 的最值。下面两题的 z₁、z₂ 与圆参数均为自编示意数值。
二、逐题精讲
题1
题1 复数运算与模（计算＋说明）
设自编示意复数 z₁ = 3 + 4i，z₂ = 1 − 2i（i 为虚数单位）。
(1) 求 |z₁|、|z₂|，并把 z₁ / z₂ 化为 a + bi 形式；(2) 求 |z₁/z₂|，并用 |z₁|、|z₂| 验证结果；(3) 写出 z₂ 的共轭 z̄₂，并说明 z₂·z̄₂ 与 |z₂|² 的关系。
解析
(1) |z₁| = √(3²+4²) = 5；|z₂| = √(1²+(−2)²) = √5。分母实数化：z₁/z₂ = (3+4i)(1+2i) / [(1−2i)(1+2i)] = (3 + 6i + 4i + 8i²) / (1+4) = (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i。分子里 8i² = −8 是唯一容易漏的符号；分母 (1−2i)(1+2i) = 1−(2i)² = 1+4 = 5，正好等于 |z₂|²。
(2) |z₁/z₂| = √((−1)²+2²) = √5。用长度验证：|z₁|/|z₂| = 5/√5 = √5，两路一致。这不是巧合——|z₁/z₂|² = (z₁/z₂)·(z̄₁/z̄₂) = |z₁|²/|z₂|²，所以商的模等于模的商。若两路不等，先回查分母是否漏乘共轭或 i² 是否写错。
(3) z̄₂ = 1 + 2i；z₂·z̄₂ = (1−2i)(1+2i) = 1 + 4 = 5 = |z₂|²。几何上 z̄₂ 是 z₂ 关于实轴的对称点，两者模相同、辐角相反；z·z̄ = |z|² 是把复数变成非负实数的常用手段，第(1)问的分母实数化就是它的直接应用。
答案 (1) |z₁|=5，|z₂|=√5，z₁/z₂=−1+2i；(2) |z₁/z₂|=√5=5/√5；(3) z̄₂=1+2i，z₂·z̄₂=5=|z₂|²。
采分点 |z₁| 1 分；|z₂| 1 分；分母乘共轭并得 5 1 分；分子展开且 i²=−1 处理正确 1 分；商化为 −1+2i 1 分；|z₁/z₂|=√5 1 分；用模的商验证 1 分；写出 z̄₂ 与 z·z̄=|z|² 1 分。
易错点 分母只乘 z₂ 而忘乘共轭，得到复数分母；把 8i² 写成 +8；把 |z₂| 算成 1+2=3；误用 |z₁/z₂| = |z₁|·|z₂|；把 z̄₂ 写成 −1−2i（那是 −z₂）。
题2
题2 圆轨迹上的模最值与纯虚数条件
设复数 z 满足 |z − (1 + i)| = 2（自编示意参数）。
(1) 说明该条件在复平面上表示什么图形，写出圆心与半径；(2) 求 |z| 的最大值与最小值；(3) 若 z 为纯虚数，求所有满足条件的 z。
解析
(1) |z−(1+i)| = 2 表示以 (1,1) 为圆心、半径 r = 2 的圆：它说的是「z 到定点 (1,1) 的距离恒为 2」，不是「z 的模为 2」。(2) 圆心 C(1,1) 到原点距离 d = √(1²+1²) = √2，且 d < r（原点在圆内）。由三角不等式 | |OC| − |CP| | ≤ |OP| ≤ |OC| + |CP|，得 |z| 的最小值 r − d = 2 − √2、最大值 r + d = 2 + √2，等号在 O、C、P 三点共线时取到（分别在 OC 反向延长线与同向延长线上）。注意不能把最小写成 0：原点虽在圆内，但圆周上的点到原点最近仍有 2−√2 ≈ 0.586。
(3) 纯虚数设 z = b i（b 为实数，b ≠ 0 若按「纯虚数不含 0」的口径）。代入：(0−1)² + (b−1)² = 4 → 1 + (b−1)² = 4 → (b−1)² = 3 → b = 1 ± √3。故 z = (1+√3)i 或 z = (1−√3)i。两解都非零（1−√3 ≈ −0.732），均合口径；若教材把 0 也算纯虚数，此处也不影响，因为 b=0 不满足方程。
几何回验：直线 x=0（虚轴）与圆心 (1,1)、半径 2 的圆相交，圆心到虚轴距离为 1 < 2，故必有两个交点，与代数两解一致；若只解出一个，多半是漏了 ±。
答案 (1) 圆心 (1,1)、半径 2 的圆；(2) |z|max=2+√2，|z|min=2−√2；(3) z=(1+√3)i 或 (1−√3)i。
采分点 认出圆轨迹并写圆心半径 2 分；d=√2 1 分；最大值 2+√2 1 分；最小值 2−√2 且说明不为 0 1 分；说明三点共线取等 1 分；设 z=bi 并列出 (b−1)²=3 1 分；两解齐全 1 分；用虚轴与圆相交回验 1 分。
易错点 把 |z−(1+i)|=2 当成 |z|=2；把最小 |z| 写成 0（忽略求的是圆周到原点距离）；最大最小写成 d±r 时次序颠倒或漏绝对值；解 (b−1)²=3 只取正根；把纯虚数条件写成实部为 0 却忘了虚部不为 0 的口径说明。
三、规律小结与对照表
| 代数式 | 几何意义 | 自编示意结果 | 易错 |
|---|---|---|---|
| |z| | z 到原点距离 | |3+4i| = 5 | 与 |z−z₀| 混用 |
| |z−z₀| = r | 以 z₀ 为圆心、r 为半径的圆 | 圆心(1,1), r=2 | 误作以原点为圆心 |
| |z₁/z₂| | 两长度之比 | 5/√5 = √5 | 误作长度之积 |
| z·z̄ | 模的平方（非负实数） | (1−2i)(1+2i)=5 | 忘 i²=−1 |
| z̄ | 关于实轴对称、辐角反号 | 1+2i | 误作 −z |
| |z| 最值 | d 与 r 的和差 | 2±√2 | 把圆内点最近距离当 0 |
| z=bi | 虚轴 x=0 | b=1±√3 | 漏 ± 或漏非零口径 |
复数题的两条线要一直对拉：代数上分母实数化、i² 落 −1；几何上把每个模读成一段距离。认出 |z−z₀|=r 是圆之后，最值直接用 d 与 r 的和差，纯虚数条件直接换成「虚轴与圆相交」，答案个数都能先验一遍。z₁=3+4i、z₂=1−2i、圆心 (1,1) 与半径 2 均为自编示意参数，不代表任何实测数据；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
四、自测清单
- □ 除法先乘分母的共轭，确认分母已变成实数；
- □ 每见一个 |·| 就写一句「这是谁到谁的距离」；
- □ |z−z₀|=r 先写圆心与半径，别当成 |z|=r；
- □ 求 |z| 最值先算圆心到原点距离 d，再比较 d 与 r；
- □ 解 (b−1)²=3 一类方程记得取 ± 两根；
- □ 用「直线与圆相交个数」回验代数解的个数。
