题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
爱因斯坦方程：hν = W + Ek,max，而 Ek,max = eUs（Us 为遏止电压，取正值），故
Us = (h/e)·ν − W/e。Us 对 ν 是直线：斜率 = h/e，横轴截距 = ν₀ = W/h（截止频率），纵轴截距 = −W/e。
取自编示意常数 h = 6.626×10⁻³⁴ J·s，e = 1.602×10⁻¹⁹ C，W = 1.60 eV（＝ 2.5632×10⁻¹⁹ J），则 ν₀ = W/h = 2.5632×10⁻¹⁹/6.626×10⁻³⁴ = 3.868×10¹⁴ Hz，h/e = 4.1361×10⁻¹⁵ V·s。四组数据即按此生成，均为自编示意值。
二、逐题精讲
题1
题1 由 U_s–ν 直线求 h、ν₀ 与 W
自编示意数据（频率 ν 单位 10¹⁴ Hz，遏止电压 U_s 单位 V）：
ν：5.00 6.00 7.00 8.00
U_s：0.468 0.882 1.295 1.709
(1) 用首尾两点与最小二乘分别求斜率，进而求 h；比较两者并说明取位影响。(2) 由斜率反求横轴截距 ν₀ 与纵轴截距，再由截距求 W（分别用 eV 与 J 表示），并回代任一组数据验算闭合。
解析
(1) 首尾两点：k = (1.709 − 0.468)/[(8.00 − 5.00)×10¹⁴] = 1.241/(3.00×10¹⁴) = 4.13667×10⁻¹⁵ V·s → h = k·e = 4.13667×10⁻¹⁵ × 1.602×10⁻¹⁹ = 6.6269×10⁻³⁴ J·s。最小二乘：ν̄ = (5+6+7+8)/4 = 6.50（×10¹⁴ Hz），Ū = (0.468+0.882+1.295+1.709)/4 = 4.354/4 = 1.0885 V。分子 Σ(νᵢ−ν̄)(Uᵢ−Ū) = (−1.5)(−0.6205) + (−0.5)(−0.2065) + (0.5)(0.2065) + (1.5)(0.6205) = 0.93075 + 0.10325 + 0.10325 + 0.93075 = 2.0680（单位 10¹⁴ Hz·V）；分母 Σ(νᵢ−ν̄)² = 2.25+0.25+0.25+2.25 = 5.000（单位 10²⁸ Hz²）。
k = 2.0680×10¹⁴/5.000×10²⁸ = 4.1360×10⁻¹⁵ V·s → h = 4.1360×10⁻¹⁵×1.602×10⁻¹⁹ = 6.6259×10⁻³⁴ J·s。
比较：两法相差 (6.6269−6.6259)/6.626 ≈ 0.015%，来自 U_s 只给到三位小数的取整；与设定值 6.626×10⁻³⁴ 的偏差分别 +0.014% 与 −0.002%。结论：最小二乘用了全部四点、受单点取整影响更小，应优先采用；答题时写出「读数精度决定 h 只能报到约 4 位有效数字」才算完整。
(2) 截距（取最小二乘斜率 k = 4.1360×10⁻¹⁵ V·s、Ū = 1.0885 V、ν̄ = 6.50×10¹⁴ Hz）：
纵轴截距 b = Ū − kν̄ = 1.0885 − 4.1360×10⁻¹⁵ × 6.50×10¹⁴ = 1.0885 − 2.6884 = −1.5999 V。
由 b = −W/e 得 W = −b·e = 1.5999 V × 1.602×10⁻¹⁹ C = 2.5630×10⁻¹⁹ J = 2.5630×10⁻¹⁹/1.602×10⁻¹⁹ = 1.600 eV ✓（1 eV = 1.602×10⁻¹⁹ J，故数值上 W/eV 就等于 |b|/V，这是最省事的换算）。
横轴截距（U_s=0）：ν₀ = −b/k = 1.5999/4.1360×10⁻¹⁵ = 3.8683×10¹⁴ Hz ✓ 与设定值一致。
三路互验：① ν₀ = W/h = 2.5632×10⁻¹⁹/6.626×10⁻³⁴ = 3.868×10¹⁴ Hz ✓；② 纵截距 −W/e = −2.5632×10⁻¹⁹/1.602×10⁻¹⁹ = −1.600 V ✓；③ 代回 ν=5.00×10¹⁴：U_s = k(ν − ν₀) = 4.1360×10⁻¹⁵ × (5.00 − 3.8683)×10¹⁴ = 4.1360×1.1317×10⁻¹ = 0.4681 V ≈ 题给 0.468 ✓。再验 ν=8.00：4.1360×10⁻¹⁵×4.1317×10¹⁴ = 1.7089 V ≈ 1.709 ✓ 四点全闭合。
另一条独立验算：由两点斜率与 ν₀ 关系 k = U₁/(ν₁ − ν₀) → ν₀ = ν₁ − U₁/k = 5.00×10¹⁴ − 0.468/4.1360×10⁻¹⁵ = 5.00×10¹⁴ − 1.1315×10¹⁴ = 3.8685×10¹⁴ Hz ✓ 与截距法一致。
答案 (1) 首尾 k=4.13667×10⁻¹⁵ V·s → h≈6.6269×10⁻³⁴ J·s；最小二乘 k=4.1360×10⁻¹⁵ → h≈6.6259×10⁻³⁴，差 0.015%，源于 U_s 三位小数取整，优先取最小二乘。(2) 纵截距 −1.5999 V、横截距 ν₀≈3.868×10¹⁴ Hz、W≈2.563×10⁻¹⁹ J＝1.600 eV；由 ν₀=W/h、b=−W/e、回代 0.468 V 与 1.709 V 三路闭合。
采分点 写出 U_s=(h/e)ν−W/e 1 分；首尾斜率与 h 各 1 分；最小二乘分子分母与 k、h 1 分；比较并说明取位影响 1 分；纵截距 −1.5999 V 1 分；W 的 J 与 eV 两表示 1 分；横截距 ν₀ 1 分；三路互验（W/h、−W/e、回代）1 分；独立两点法验 ν₀ 1 分。
易错点 把 ν 的 10¹⁴ 因子漏掉，斜率差 10¹⁴ 倍；把 h/e 当成 e/h；纵截距符号写成正；把 W 的 J 值直接当 eV（差 1.602×10⁻¹⁹ 倍）；用首尾斜率求 ν₀ 却用最小二乘求 b，两套混用；不回代任一组数据就说闭合；把 1 eV 换算搞反。
题2
题2 光强、频率与反向电压的分工，及一处取整误差方向
(1) 判断下列说法是否正确并说明理由：①「增大入射光强会使遏止电压 U_s 变大」②「换用更高频率的光，饱和光电流一定变大」③「ν < ν₀ 时无论光强多大、照射多久都没有光电子」④「反向电压增大到 U_s 时，光电流恰为零」。(2) 若把题1 中 ν=6.00×10¹⁴ Hz 的 U_s 由 0.882 V 误读为 0.880 V（其余不变），用首尾两点重算斜率与 h，说明偏大还是偏小、偏差多少；并说明为什么最小二乘法能减小这种单点误读的影响。
解析
(1) ① 错。U_s 只由 ν 与 W 决定（eU_s=hν−W），与光强无关；光强增大只是单位时间入射光子数变多 → 逸出光电子数变多 → 饱和电流变大，但每个光电子的最大初动能不变。② 不一定（说法过强）。饱和光电流主要由光强（光子数）决定；换更高频率而保持光强（功率）不变时，单个光子能量变大、光子数反而减少，饱和电流可能减小。频率确定的是 U_s 与 Ek,max，不是电子数目。若同时提高光强，电流才可能变大——所以「一定」是错的。
③ 正确（在单光子光电效应框架内）。ν<ν₀ 时 hν<W，单个光子能量不足以逸出；增大光强只增加光子数、不增加单个光子能量，延长照射也不积累（能量不是连续攒的）。补充限定：极强光下的多光子效应属非线性光学，不在本实验范围；答题补这一句更严谨。
④ 基本正确但需限定：理想情况下反向电压达到 U_s 时，连最大初动能的光电子也到不了阳极，光电流为零；实际测量中因暗电流、接触电势差、阳极反向发射与杂散光，电流是<strong渐近趋于一个小的本底而非严格为零，故实验上常用「外推到零」或「拐点法」定 U_s。只答「恰好为零」而不提本底，采分点会丢一半。
(2) 误读后的首尾斜率：这里要分两种读法，如实说明最稳妥。
若仍用首尾两点（ν=5.00 与 8.00，U=0.468 与 1.709）：这两点都没被改动，故 k 仍 = 4.13667×10⁻¹⁵ V·s、h 仍 = 6.6269×10⁻³⁴ J·s，不受影响——这正说明「只用两点」对中间点的误读不敏感也不利用信息，既是优点也是缺点。
若改用「受影响的最左点保持、把误读点当新端点」（例如以 5.00 与 6.00 两点求斜率，作为一种局部估计）：k′ = (0.880 − 0.468)/[(6.00−5.00)×10¹⁴] = 0.412/1.00×10¹⁴ = 4.120×10⁻¹⁵ V·s，比真值 4.1360×10⁻¹⁵ 偏小 0.39%，对应 h′ = 4.120×10⁻¹⁵×1.602×10⁻¹⁹ = 6.600×10⁻³⁴ J·s，偏小约 0.39%。
最小二乘的影响：把 0.882 换成 0.880 后，四点均值 Ū 由 1.0885 变为 (0.468+0.880+1.295+1.709)/4 = 4.352/4 = 1.0880；分子 Σ(νᵢ−ν̄)(Uᵢ−Ū) = (−1.5)(−0.620) + (−0.5)(−0.208) + (0.5)(0.207) + (1.5)(0.621) = 0.930 + 0.104 + 0.1035 + 0.9315 = 2.0690（原 2.0680），分母仍 5.000×10²⁸ → k′ = 4.1380×10⁻¹⁵ V·s，h′ = 6.6291×10⁻³⁴，相对真值仅 +0.05%。
为什么能减小：最小二乘把四个点的残差共同分摊，单个点 −0.002 V 的误读被 4 个点、且被「离均值较近」的权重稀释（该点在 ν=6.00，离 ν̄=6.50 只差 0.5，杠杆小）；而两点法若恰把误读点当端点，全部误差都落在这一个差上。但要注意：本题首尾两点法因为没用到被改动的点而完全不受影响，这是数据位置造成的巧合，不能据此说「两点法更抗误读」——一般情形下，多点拟合 + 检查残差才是稳妥做法；发现某点残差异常应先复测该点，而不是改公式。
方向小结：把某个中间电压读小了，若它位于均值左侧，会使拟合斜率略偏大（本题 +0.05%）；若误读点在右侧则方向相反——偏差方向取决于该点相对均值的位置，不可一概而论。
答案 (1) ① 错（U_s 只由 ν、W 定，光强只改饱和电流）② 不一定（饱和电流由光子数定，功率不变时频率升高光子数反减）③ 正确（单光子框架内，补多光子效应限定）④ 基本对但须提暗电流/接触电势差等本底，实验上用外推定 U_s。(2) 首尾两点未用该点故 h 不变；若把误读点作局部端点则 k=4.120×10⁻¹⁵、h≈6.600×10⁻³⁴，偏小 0.39%；最小二乘重算 k=4.1380×10⁻¹⁵、h≈6.6291×10⁻³⁴，仅 +0.05%；因残差分摊且该点杠杆小，方向取决于点相对均值的位置。
采分点 ① 判定与「光强改饱和电流不改 U_s」1 分；② 指出「一定」错并说明功率不变时光子数减 1 分；③ 判定与多光子限定 1 分；④ 判定与本底/外推 1 分；说明首尾两点未用该点故不变 1 分；局部端点法 k′ 与 h′ 各 1 分；最小二乘重算 Ū 与 k′ 1 分；+0.05% 与残差分摊理由 1 分；点明「方向取决于相对均值位置、两点法不变是巧合」1 分。
易错点 认为增大光强会增大 U_s；把「频率高→电子多」当必然；③ 忽略多光子效应限定却把说法绝对化；④ 直接说「电流严格为零」不提本底；误读后不区分「首尾法有没有用到该点」就笼统说偏大/偏小；把最小二乘偏差说成 0.39%；断言「读小一定使斜率偏小」（方向取决于点的位置）；发现残差异常后改公式而不复测。
三、规律小结与对照表
| 量／判断 | 关系式 | 自编示意结果 | 要点 |
|---|---|---|---|
| 线性化 | U_s=(h/e)ν−W/e | k=4.1360×10⁻¹⁵ V·s | 斜率 h/e |
| h（首尾） | k·e | 6.6269×10⁻³⁴ J·s | 两点法 |
| h（最小二乘） | 2.0680/5.000 | 6.6259×10⁻³⁴ J·s | 优先，差 0.015% |
| 纵截距 | b=−W/e | −1.5999 V | W=1.600 eV |
| 横截距 | ν₀=−b/k | 3.868×10¹⁴ Hz | ν<ν₀ 无光电子 |
| W | |b|·e | 2.563×10⁻¹⁹ J＝1.600 eV | 1 eV=1.602×10⁻¹⁹ J |
| 回代 ν=5.00 | k(ν−ν₀) | 0.4681 V ≈ 0.468 | 闭合 |
| 回代 ν=8.00 | k(ν−ν₀) | 1.7089 V ≈ 1.709 | 闭合 |
| 光强增大 | 光子数↑ | 饱和电流↑，U_s 不变 | ① 错 |
| 频率升高 | hν↑ | U_s↑；功率不变时光子数↓ | ② 不一定 |
| ν<ν₀ | hν<W | 无光电子（单光子框架） | ③ 对，附限定 |
| U=U_s | eU_s=E_k,max | 理想为零，实际有本底 | ④ 附限定 |
| 误读 0.882→0.880 | 局部端点 k′=4.120 | h′≈6.600×10⁻³⁴（−0.39%） | 首尾法不受影响 |
| 最小二乘误读 | Ū=1.0880，k′=4.1380 | h′≈6.6291×10⁻³⁴（+0.05%） | 残差分摊 |
光电效应这组，全部答案都从 U_s = (h/e)ν − W/e 这条直线上读出来：斜率给 h（6.626×10⁻³⁴ 量级）、纵截距给 W（−1.600 V → 1.600 eV）、横截距给 ν₀（3.868×10¹⁴ Hz），三个数还能互相回代闭合。概念上把两把尺子分开：频率定能量（U_s、E_k,max），光强定数目（饱和电流）。题2 特意留了一处「单点误读」的两种算法对照——首尾两点恰好没用到那个点所以不变，而最小二乘只偏 +0.05%，说明多点拟合抗单点误差，但偏差方向取决于该点相对均值的位置，不能一概而论。所有频率、电压与常数均为自编示意，不代表真实测量记录或器件参数。
四、自测清单
- □ 先把 ν 的 10¹⁴ 因子带上，再算斜率 h/e；
- □ 纵截距是 −W/e（负号别丢），横截距是 ν₀=W/h；
- □ 用最小二乘而非只用两点，并说明读数取整的影响；
- □ 由 ν₀=W/h、b=−W/e、回代 U_s 三路验闭合；
- □ 分清「频率定 U_s」与「光强定饱和电流」；
- □ ν<ν₀ 结论补「单光子框架」限定，U=U_s 补本底限定；
- □ 单点误读先查「这个点有没有被算法用到」，再看残差与杠杆。
