联招化学·反应速率与活化能：阿伦尼乌斯公式的两温度求 Ea

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

阿伦尼乌斯式：k = A e^−Ea/RT（A 为指前因子，R = 8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹，Ea 单位 J/mol）。两温度相除取自然对数，A 消去：

ln(k₂/k₁) = (Ea/R)(1/T₁ − 1/T₂)，故 Ea = R·ln(k₂/k₁) / (1/T₁ − 1/T₂)。

自编示意数据：T₁ = 300 K 时 k₁ = 1.20×10⁻³ s⁻¹；T₂ = 320 K 时 k₂ = 4.80×10⁻³ s⁻¹（均为自编示意值，不代表任何真实反应）。先看清 T₂>T₁ 且 k₂>k₁，则 1/T₁ − 1/T₂ > 0、ln(k₂/k₁) > 0，算出的 Ea 必为正；若得负值，一定是把两个温度或两项倒数写反了。

二、逐题精讲

题1

题1 两温度求活化能并反算闭合

(1) 由上述数据求 Ea（以 kJ/mol 表示，保留三位有效数字）。(2) 用求得的 Ea 反算 k₂ 与 k₁ 的比值，验证是否回到 4.00；再求 T₃ = 340 K 时的 k₃（A 不变），并用 1/T 线性外推交叉验证。

解析

符号自检：分子正、分母正，得正值 ✓。若写成 (1/T₂ − 1/T₁) 会得 −55.3 kJ/mol；若把 ln(k₂/k₁) 写成 ln(k₁/k₂) 会得 −1.386 再出负值，两者都是本题最高发的错。

(2) 反算闭合：Ea/R = 55323/8.314 = 6654.2 K；ln(k₂/k₁) = 6654.2 × 2.083333×10⁻⁴ = 1.38629 → k₂/k₁ = e^1.38629 = 4.0000 ✓ 回到题给比值。
求 k₃（T₃=340 K，A 不变）：用 T₁ 作基准，ln(k₃/k₁) = (Ea/R)(1/300 − 1/340) = 6654.2 × (40/102000) = 6654.2 × 3.921569×10⁻⁴ = 2.60949 → k₃/k₁ = e^2.60949 = 13.590 → k₃ = 1.20×10⁻³ × 13.590 = 1.6308×10⁻² s⁻¹。

交叉验证（1/T 线性外推）：lnk = lnA − (Ea/R)(1/T)，即 lnk 对 1/T 是直线，斜率 −Ea/R = −6654.2 K。
在 T₂=320 K 处 lnk₂ = ln(4.80×10⁻³) = −5.33882；从 320 K 推到 340 K：Δ(1/T) = 1/340 − 1/320 = −20/108800 = −1.838235×10⁻⁴；Δlnk = −6654.2 × (−1.838235×10⁻⁴) = +1.22319 → lnk₃ = −5.33882 + 1.22319 = −4.11563 → k₃ = e^−4.11563 = 1.6309×10⁻² s⁻¹ ✓ 与基准法一致（差 1×10⁻⁶，属取位）。
再验三点共线：T₁ 处 lnk₁ = ln(1.20×10⁻³) = −6.72543；斜率 (lnk₂−lnk₁)/(1/320−1/300) = 1.38661/(−2.083333×10⁻⁴) = −6655.7 K，与 −6654.2 相差 0.02% ✓ 三点在同一直线上，说明数据是按同一 Ea 生成的自洽示意值。

顺便求 A（可选自检）：lnA = lnk₁ + Ea/(RT₁) = −6.72543 + 6654.2/300 = −6.72543 + 22.1807 = 15.4553 → A ≈ 5.17×10⁶ s⁻¹。代回 T₂：lnk₂ = 15.4553 − 6654.2/320 = 15.4553 − 20.7944 = −5.3391 ✓ 与 −5.33882 一致。

答案　(1) Ea≈55.3 kJ/mol（ln4=1.386294，1/300−1/320=2.08333×10⁻⁴ K⁻¹）。(2) 反算 k₂/k₁=e^1.38629=4.0000 ✓；T₃=340 K 时 k₃≈1.631×10⁻² s⁻¹，由 ln k–1/T 直线外推得 1.6309×10⁻²，两路一致；三点共线斜率约 −6654 K，附 A≈5.17×10⁶ s⁻¹ 自检。

采分点　写出两温度相除取对数的形式 1 分；ln4 与 1/T₁−1/T₂ 各 1 分；Ea=55.3 kJ/mol 1 分；符号自检（正值）1 分；反算 k₂/k₁=4.0000 1 分；k₃ 计算 1 分；ln k–1/T 线性外推 1 分；两路一致与三点共线 1 分；A 自检 1 分；单位 J/mol→kJ/mol 换算 1 分。

易错点　把 1/T₁−1/T₂ 写成 1/T₂−1/T₁ 得负 Ea；用 lg 代替 ln 却漏乘 2.303；把 R 用成 8.314 kJ·mol⁻¹·K⁻¹（单位错 1000 倍）；把 Ea 结果写成 55.3 J/mol；求 k₃ 时把 A 当成随温度变；外推时 Δ(1/T) 符号搞反得 k₃ 变小；不回代验 ln(k₂/k₁) 是否回到 1.386。

题2

题2 催化剂降 Ea 的倍率与「升温 vs 加催化剂」辨析

(1) 若加入催化剂使活化能降为 Ea′ = 45.0 kJ/mol（A 不变），求 T₁ = 300 K 时速率常数增大的倍数；再求用催化剂后在多少温度下即可达到原体系 320 K 时的速率（即 k = 4.80×10⁻³ s⁻¹）。(2) 判断下列说法是否正确并说明理由：①「升温与加催化剂都增大 k，所以都改变反应的 ΔG 与平衡常数 K」②「催化剂使 Ea 降低，因此正、逆反应速率增大的倍数相同，K 不变」③「由 ln k 对 1/T 的斜率可求 Ea，截距可求 A」。

解析

达到原 320 K 速率所需温度：目标 k = 4.80×10⁻³ s⁻¹，lnk = −5.33882。由 lnk = lnA − Ea′/(RT)：
Ea′/(RT) = lnA − lnk = 15.4553 − (−5.33882) = 20.7941 → T = 45000/(8.314 × 20.7941) = 45000/172.884 = 260.3 K。
验算：把 T=260.3 K 代回 k=Ae^{−45000/(8.314×260.3)} = 5.17×10⁶·e^−20.794 = 5.17×10⁶ × 9.30×10⁻¹⁰ = 4.81×10⁻³ ✓ 与目标一致（取位误差）。结论：催化剂把达到同一速率所需温度从 320 K 降到约 260 K，降幅约 60 K；这正是「降 Ea 等价于在更低温度拿到同样速率」的量化说法。
合理性提醒：260 K 已低于题给数据区间，属线性外推，仅在本示意模型（A 与 Ea′ 视为常数）内成立；实际体系可能有相变、扩散控制或机理改变，不能无条件外推。补这一句才算严谨。

(2) 三条判定：
① 错。升温确实增大 k（e 指数项变大），而且会改变平衡常数 K（由 ΔG° = −RTlnK 与 van't Hoff 关系，K 随 T 变，方向取决于 ΔH）；但催化剂只改速率、不改 ΔG°、不改 K、不改平衡位置，它同时加快正逆反应使更快到达同一个平衡。把两者因「都增大 k」就并成「都改 K」是典型错误。
② 正确。催化剂给正、逆反应提供同一条更低能垒的路径，Ea 正与 Ea 逆下降同样的量，故 k_正、k_逆 增大相同倍数（本题都是 62.70 倍），其比值 K = k_正/k_逆 不变 ✓。这也从动力学角度解释了①里「K 不变」。
③ 正确（附前提）。lnk = lnA − (Ea/R)·(1/T)，对 1/T 作直线：斜率 = −Ea/R → Ea = −斜率·R；截距 = lnA → A = e^截距。本题斜率 ≈ −6654 K，截距 ≈ 15.455，正是这样求出的。前提是在所测温度区间内 Ea 与 A 近似为常数、机理不变；若机理切换，直线会折弯，不能硬拟合。
一句划界：动力学（k、Ea、速率）与热力学（ΔG、K、平衡位置）是两把尺子；温度同时动两把，催化剂只动第一把。

答案　(1) 300 K 时 k 增大 exp[(55323−45000)/(8.314×300)]=62.70 倍，k₁′≈7.52×10⁻² s⁻¹；达到原 320 K 速率所需温度 ≈260.3 K（比 320 K 低约 60 K，属示意模型内线性外推，附机理不变前提）。(2) ① 错：升温改 K，催化剂不改 ΔG°/K/平衡，只加快到达；② 正确：正逆 Ea 同降、k 同倍增大，K=k正/k逆 不变；③ 正确：斜率 −Ea/R、截距 lnA，前提是区间内机理不变。

采分点　写出 k′/k=exp[(Ea−Ea′)/RT] 1 分；62.70 倍 1 分；A 路回代 k₁′ 一致 1 分；由 lnA−lnk 反解 T=260.3 K 1 分；回代验算 1 分；外推前提提醒 1 分；① 判定并区分升温/催化剂对 K 的影响 2 分；② 用 k正/k逆 说明 1 分；③ 斜率/截距与前提 1 分；动力学与热力学划界 1 分。

易错点　把 Ea 差值单位用 kJ 直接除以 R=8.314 J（少乘 1000）；求 T 时把 lnA−lnk 的符号写反得负温度；认为催化剂也改 ΔG°/K；把「正逆同倍增大」说成「只加快正反应」；③ 忘记斜率是 −Ea/R 而非 −Ea；把 ln k–1/T 外推当成任意温度都适用；把 260 K 结果当成真实工艺温度而不注明前提。

三、规律小结与对照表

阿伦尼乌斯这一组，机关全在「两温度相除取对数，A 就消掉」：ln4 除以 2.0833×10⁻⁴ K⁻¹ 得 55.3 kJ/mol，反算比值回到 4.0000，再外推到 340 K 得 1.631×10⁻² s⁻¹，三点在 lnk–1/T 上共线，一个数都没凑。催化剂把 Ea 降到 45.0 kJ/mol 后，300 K 速率涨 62.70 倍、达到原 320 K 速率只需约 260 K——但动力学与热力学要分开：温度会动 K，催化剂只动 k，正逆同倍增大，K 不变。所有 k、Ea、A 与温度均为自编示意数值，不代表真实反应体系或物质常数。

四、自测清单

• □ 先写 ln(k₂/k₁)=Ea/R(1/T₁−1/T₂)，确认 A 已消去；
• □ 用自然对数 ln；若用 lg 必须乘 2.303；
• □ R=8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹，Ea 结果先得 J/mol 再换 kJ/mol；
• □ 算完反算 k₂/k₁ 是否回到题给比值；
• □ ln k 对 1/T 是直线：斜率 −Ea/R、截距 lnA；
• □ 催化剂题把 Ea 差化成 J 再除 RT，别漏 ×1000；
• □ 分清「升温改 K」与「催化只改 k、K 不变」；
• □ 外推出区间时补一句「机理不变」的前提。