联招数学·线性规划与基本不等式：最值的两路求法

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

两组自编题设：

(一) 线性规划：max z = 3x + 2y，约束 x + y ≤ 6，2x + y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
(二) 基本不等式：x > 0，y > 0，且 2x + 3y = 12，求 (a) xy 的最大值；(b) 1/x + 1/y 的最小值。

两条纪律先立住：线性规划的最优值一定在可行域顶点（或边界）取到，必须把顶点逐个代入比大小；基本不等式给的是「≤ / ≥」的界，只有等号条件在约束内可满足时，这个界才是真正的最值。

二、逐题精讲

题1

题1 线性规划的顶点枚举与目标函数平移

(1) 画出可行域，求出全部顶点，逐个代入 z = 3x + 2y，给出最大值与取等点。(2) 用「目标函数直线平移」解释为什么最大值落在那个顶点；若把目标改成 z′ = 2x + 3y，最优点是否变化？请重新枚举并说明原因。

解析

逐个代入：z(O)=0；z(A)=3·0+2·6=12；z(B)=3·4+2·0=12；z(C)=3·2+2·4=6+8=14。
故 z_max = 14，在 C(2,4) 取到。顺带发现：A 与 B 都是 12，说明目标函数在两条不同边界上可以取同值，不能只算一个顶点就下结论。

(2) 平移解释。 把 z = 3x+2y 写成 y = −(3/2)x + z/2，斜率 −3/2 固定，z 越大纵截距越大，直线越往右上平移。可行域两条斜边的斜率分别是 −1（x+y=6）与 −2（2x+y=8），而 −2 < −3/2 < −1，即目标直线夹在两条边界斜率之间；平行上移时最后离开可行域的点正是两斜边的交点 C(2,4)，故最优在 C。这与枚举结果一致。

目标改成 z′ = 2x + 3y：重新枚举 z′(O)=0；z′(A)=18；z′(B)=8；z′(C)=4+12=16。
最优点变为 A(0,6)，z′_max = 18。原因：z′ 写成 y = −(2/3)x + z′/3，斜率 −2/3 比 −1 更平缓，平移到最后离开可行域时先撞到 y 轴上的 A，而不是交点 C。结论：可行域没变，但目标函数方向一变，最优点会沿边界「滑」到另一个顶点；每次换目标都必须重新枚举全部顶点，不能沿用上一问的取等点。

答案　(1) 顶点 O(0,0)、A(0,6)、B(4,0)、C(2,4)；z 依次为 0、12、12、14，最大 14 在 C(2,4)。(6,0) 与 (0,8) 因违反另一约束被划掉。(2) 目标直线斜率 −3/2 夹在 −2 与 −1 之间，最后离开点在 C；改 z′=2x+3y 后重新枚举得最大 18 在 A(0,6)，最优点改变。

采分点　画出可行域并列出四个有效顶点 2 分；指出 (6,0)、(0,8) 不可行并说明验约束 1 分；四个 z 值逐个代入 1 分；zmax=14 与 C(2,4) 1 分；斜率 −3/2 夹在 −2 与 −1 之间的平移解释 1 分；改目标后四个 z′ 值 1 分；最优点变为 A(0,6)、值 18 1 分；说明「换目标必须重新枚举」1 分。

易错点　把 (6,0) 或 (0,8) 当顶点直接代入（没验另一条约束）；只算交点 C 就算完，不枚举 A、B；见 A、B 同为 12 就以为最优在整条边上；把目标直线斜率写反（−2/3 与 −3/2 混）；改目标后沿用 C 点；把「最大值」与「上界」混用而不验取等点。

题2

题2 基本不等式与柯西：最值、等号条件与回代

设 x > 0，y > 0，2x + 3y = 12。(1) 求 xy 的最大值，并验证等号在约束内可取得。(2) 求 1/x + 1/y 的最小值；请用柯西不等式与消元求导两路计算并对照，给出等号条件与最小值（可用根式）。

解析

(2) 第一路：柯西不等式。
(1/x + 1/y)(2x + 3y) ≥ (√(1/x·2x) + √(1/y·3y))² = (√2 + √3)² = 5 + 2√6。
因 2x+3y = 12，得 1/x + 1/y ≥ (5 + 2√6)/12 ≈ (5 + 4.898979)/12 = 0.824915。
等号条件：柯西取等要求 (1/x)/ (2x) 与 (1/y)/(3y) 成比例，等价地 x/y = √3/√2 = √6/2 ≈ 1.224745；联立 2x+3y=12 解得 y = 12/(2·√6/2 + 3) = 12/(√6+3)，x = (√6/2)y。数值：y ≈ 12/5.44949 = 2.20204，x ≈ 2.69694；回代 2x+3y ≈ 5.3939+6.6061 = 12.000 ✓。

第二路：消元求导。 由约束 y = (12 − 2x)/3，定义域 0 < x < 6。设
f(x) = 1/x + 3/(12 − 2x)。
f′(x) = −1/x² + 6/(12 − 2x)²。令 f′=0 → 6x² = (12 − 2x)² → √6 x = 12 − 2x（取正根，因两边为正）→ x = 12/(2 + √6) ≈ 2.69694 ✓ 与柯西等号点一致。
代回：y = (12 − 2x)/3 ≈ 2.20204，f = 1/2.69694 + 1/2.20204 ≈ 0.37078 + 0.45413 = 0.82491；与柯西值 0.824915 一致（差仅来自取位），再用精确式复核：
x = 12/(2+√6)，1/x = (2+√6)/12；12 − 2x = 12√6/(2+√6)，故 3/(12−2x) = 3(2+√6)/(12√6) = (2+√6)/(4√6)。两者和 = (2+√6)[1/12 + 1/(4√6)] = (2+√6)(√6+3)/(12√6) = [(2+√6)(3+√6)]/(12√6) = (6 + 2√6 + 3√6 + 6)/(12√6) = (12 + 5√6)/(12√6) = 12/(12√6) + 5√6/(12√6) = 1/√6 + 5/12 = √6/6 + 5/12 = (2√6 + 5)/12 = (5 + 2√6)/12 ✓ 两路精确一致。

两路对照的意义：柯西给界快但必须验等号可达；求导给驻点但必须验定义域与端点（x→0⁺ 或 6⁻ 时 f→+∞，故唯一驻点是最小值）。两条路都指向 (5+2√6)/12，且等号点相同，答案才站得住。

答案　(1) 6xy≤36 → xy≤6，等号在 2x=3y=6 即 (3,2) 取得，最大值 6。(2) 最小值 (5+2√6)/12≈0.824915；柯西等号 x/y=√3/√2≈1.224745，消元求导驻点 x=12/(2+√6)≈2.69694 与之相同，精确回代两路一致；端点 f→+∞ 保证是最小值。

采分点　配凑 2x·3y 并写出 6xy≤36 1 分；最大值 6 1 分；验等号 (3,2) 在约束内且回代 1 分；柯西写出 (√2+√3)²=5+2√6 1 分；最小值 (5+2√6)/12 1 分；柯西等号条件 x/y=√6/2 1 分；消元与 f′ 1 分；驻点 x=12/(2+√6) 与等号点一致 1 分；精确回代两路一致 1 分；端点 f→+∞ 说明是最小值 1 分。

易错点　直接用 xy≤((x+y)/2)² 而忽略约束是 2x+3y（配凑错）；只写 xy≤6 不验等号就称最大值；柯西漏平方或把 (√2+√3)² 算成 5+√6；求导后不验 0<x<6 与端点；把 (5+2√6)/12 近似值当精确答案；两路数值略有出入时不查取位就直接改答案。

三、规律小结与对照表

这一组最值题，两路各有各的「最后一脚」：线性规划必须把顶点逐个代入（还要先把 (6,0)、(0,8) 这类违反另一约束的假交点划掉），基本不等式/柯西必须验等号在约束内真的取得到——只写出「≤6」「≥(5+2√6)/12」是界，不是最值。题2 用柯西与消元求导两路算，驻点都落在 x=12/(2+√6) 上，精确回代同为 (5+2√6)/12；若两路数值差一点，先查中间取位，别急着改答案。题设与数值均为自编示意。

四、自测清单

• □ 线性规划先把所有交点验一遍约束，划掉不可行的；
• □ 四个顶点逐个代入目标函数，别只算交点；
• □ 换目标函数必须重新枚举，最优点会沿边界滑动；
• □ 用基本不等式前先配凑出「定和/定积」的形式；
• □ 写出 ≤ 或 ≥ 之后，必须验等号条件在约束内可达；
• □ 求导法补验定义域与端点（本题两端都趋于 +∞）；
• □ 两路不等先查中间取位，用精确式回代闭合。