联招物理·实验题：光杠杆法测金属丝杨氏模量

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

自编示意装置：金属丝原长 L = 0.1000 m，直径 d = 0.400 mm，下端挂砝码施力 F = mg；光杠杆镜面到标尺距离 D = 1.500 m，光杠杆后足到前足连线的距离（镜臂）b = 8.00 mm。标尺读数变化 Δn 与丝的伸长 ΔL 满足 Δn = (2D/b)·ΔL，故 ΔL = bΔn/(2D)。

来路：丝伸长 ΔL 使镜面转角 θ ≈ ΔL/b，反射光偏转 2θ，标尺上位移 Δn ≈ D·2θ = 2DΔL/b。故放大倍数 = 2D/b。最终 Y = FL/(AΔL)，A = πd²/4。下面数据与参数均为自编示意数值。

二、逐题精讲

题1

题1 单次加载的完整计算链与量纲核对

自编示意：加 m = 2.00 kg 砝码（取 g = 9.80 m/s²）后，标尺读数变化 Δn = 3.00 cm。(1) 依次求 F、A、放大倍数 2D/b、ΔL、Y。(2) 用量纲核对 Y 的单位是否为 Pa；并说明若把镜臂 b 误记成 10.00 mm（真值 8.00 mm），算出的 Y 会偏大还是偏小、偏差多少。

解析

(2) 量纲核对：[F] = N = kg·m·s⁻²，[L] = m，[A] = m²，[ΔL] = m → [Y] = (kg·m·s⁻² · m)/(m² · m) = kg·m⁻¹·s⁻² = N/m² = Pa ✓。也可从定义 Y = 应力/应变 = (F/A)/(ΔL/L) 看：应力 Pa，应变无量纲，故 Y 为 Pa。若算得 10¹¹ 以外的数量级（如 10⁷ 或 10¹⁵），优先查直径有没有化成米——d 用 mm 代入会让 A 大 10⁶ 倍、Y 小 10⁶ 倍，这是本实验最高发的量纲错。

镜臂记大的偏差：由 ΔL = bΔn/(2D) 知 ΔL ∝ b，而 Y ∝ 1/ΔL ∝ 1/b。把 b 记成 10.00 mm（放大 1.25 倍），则 ΔL′ = 1.25ΔL = 1.00×10⁻⁴ m，Y′ = Y/1.25 = 1.5597×10¹¹ Pa，即偏小 20%（相对偏差 (1.5597−1.9496)/1.9496 = −20.0%）。
方向记忆：镜臂记大 → 以为放大倍数小 → 把同样的标尺位移换算成更大的伸长 → 材料「显得更软」→ Y 偏小。反过来 D 记大则 ΔL 偏小、Y 偏大。

答案　(1) F=19.6 N；A=1.25664×10⁻⁷ m²；放大倍数 375；ΔL=8.00×10⁻⁵ m；Y≈1.95×10¹¹ Pa。(2) 量纲为 N/m²=Pa ✓；b 误记 10.00 mm 时 ΔL 放大 1.25 倍、Y 变为 1.56×10¹¹ Pa，偏小 20%。

采分点　F=19.6 N 1 分；d 化米与 A=1.25664×10⁻⁷ 各 1 分；放大倍数 375 1 分；ΔL=8.00×10⁻⁵ 与两路算法各 1 分；Y=1.95×10¹¹ 1 分；量纲推导得 Pa 1 分；指出「d 用 mm 会差 10⁶」1 分；b 记大 → Y 偏小 20% 的链与数值各 1 分。

易错点　直径或标尺读数忘了化米（最常见）；把 πd²/4 写成 πd²；把放大倍数写成 D/b 漏掉 2；把 ΔL=bΔn/(2D) 倒成 2DΔn/b；算 Y 时漏乘原长 L；判断 b 记大时把 Y 说成偏大（没走完 ΔL∝b、Y∝1/ΔL 两步）。

题2

题2 逐差法处理五组加载数据、误差方向与适用条件

自编示意：等量逐级加载，标尺读数 n（cm）依次为 0.00、0.75、1.50、2.26、3.01、3.76（共 6 级，每级 Δm = 0.50 kg，g = 9.80 m/s²）。(1) 用逐差法求每增加 1.50 kg 对应的平均标尺位移，进而求 Y；并与题1 单次结果对照。(2) 说明逐差法在这里消除了什么；再判断三种情况对 Y 的方向：① 金属丝直径测小了；② 标尺未竖直、读数偏大；③ 加载超过弹性限度。

解析

与题1 对照：题1 用 2.00 kg、Δn=3.00 cm 得 1.9496×10¹¹ Pa；本批逐差得 1.9408×10¹¹ Pa，相差 0.45%，在读数精度（0.01 cm）内一致。线性自检：逐级位移为 0.75、0.75、0.76、0.75、0.75 cm，六级基本等间隔，说明在弹性限度内、F 与 ΔL 成正比，用逐差法合理。若把 2.26 写成 2.25（即认为每级恰好 0.75），得 Y=1.9494×10¹¹，与题1 几乎重合，说明数据是围绕同一 Y 设计的示意值。

(2) 逐差法消除了什么：把 6 个读数两两相减再平均，每次差值都消掉了共同的零点读数 n₀ 与初始弯曲/预紧造成的常数偏移，且充分利用了全部 6 个数据（若只取首尾 3.76 cm，中间信息全丢，随机误差更大）。它不能消除比例型系统误差（如 b、D、d 测错），也不能修正超出弹性限度后的非线性——这两类要另查。

三个误差方向：
① 直径测小 → A = πd²/4 偏小且按平方缩小 → Y = FL/(AΔL) 偏大；若 d 测小 1%，A 小约 2%，Y 大约 2%。这是本实验最敏感的量，故直径要在多处、多方向测后取平均。
② 标尺未竖直、读数偏大 → Δn 偏大 → ΔL 偏大 → Y 偏小。注意与①方向相反，答时须分别写链。
③ 超过弹性限度 → 出现不可恢复的塑性形变，逐级位移不再等间隔，F 与 ΔL 不再成正比，胡克定律与 Y 的定义前提失效：此时不能再用线性公式给单一 Y；若仍硬套，后期 ΔL 偏大，算出的 Y 会偏小且随载荷变化。正确处置是卸载检查是否回零、舍去超限数据、只在弹性线性段内拟合。
适用条件小结：小形变、弹性限度内、丝竖直且初始拉直、镜面与标尺平行、b/D/d 准确——逐差法只解决「零点与随机读数」，不解决这些前提。

答案　(1) 三组逐差均 2.26 cm，平均 Δn=2.26 cm（对应 1.50 kg、14.7 N），ΔL=6.0267×10⁻⁵ m，Y≈1.9408×10¹¹ Pa，与题1 相差 0.45%。(2) 逐差消掉零点常数偏移并充分利用全部读数，不消比例系统误差；① 直径测小→Y 偏大（平方效应）② 读数偏大→Y 偏小 ③ 超弹性限度→线性前提失效，硬套则 Y 偏小且随载荷变，须卸载回零检查后只用线性段。

采分点　三组逐差值 2.26 cm 各 0.5 分；平均与 F=14.7 N 各 1 分；ΔL=6.0267×10⁻⁵ 1 分；Y=1.9408×10¹¹ 1 分；与题1 对照 0.45% 1 分；逐级位移线性自检 1 分；逐差法消除零点偏移与「不消比例误差」各 1 分；三个误差方向各 1 分；弹性限度前提与处置 1 分。

易错点　逐差只取首尾一组（3.76 cm）而不分组；把相隔级数当 2 级或 4 级，Δm 算错；逐级位移不等间隔仍硬套线性；把直径测小说成 Y 偏小（漏了 A∝d² 与 Y∝1/A 两步）；把标尺偏大与直径偏小两个方向混成一样；认为逐差法能修正 b、D 测错；超弹性限度后仍给单一 Y 而不说明前提失效。

三、规律小结与对照表

光杠杆这一组，全部数值都串在 Δn = (2D/b)ΔL 与 Y = FL/(AΔL) 两条式子上：单次加载得 1.95×10¹¹ Pa，五组逐差得 1.94×10¹¹ Pa，差 0.45%，说明数据是自洽的。三个最容易翻车的地方——直径要化米（平方效应最敏感）、放大倍数是 2D/b 不是 D/b、逐差法只消零点不消比例误差。算完顺手做一次量纲核对，10¹¹ 这个量级若跑偏，先回头查单位。所有参数与读数均为自编示意，不代表真实材料常数或仪器规格。

四、自测清单

• □ 直径、标尺读数、镜臂全部先化成 SI 再代入；
• □ 放大倍数记 2D/b，反射光偏转是 2θ 不是 θ；
• □ ΔL=bΔn/(2D) 与 Δn/倍数 两路算一遍；
• □ 算完 Y 做量纲核对，量级异常先查 d 的单位；
• □ 逐差法按相隔 3 级分组，别只取首尾；
• □ 分清「零点偏移可消、比例系统误差不可消、弹性限度是前提」。