题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
设三棱锥 P–ABC，PA ⊥ 平面 ABC，底面 △ABC 中 ∠ABC = 90°，AB = 2，BC = 2，PA = 2（长度单位自定，均为自编示意数值）。这个模型的好处是：三条互相垂直的线段给了天然坐标系，同时三垂线定理又能直接给出二面角的平面角，便于两路互验。
两条主线：求二面角——几何法先证 BC ⊥ 平面 PAB，从而 ∠PBA 就是二面角 P–BC–A 的平面角；坐标法则求两平面法向量夹角。求距离——点 A 到平面 PBC 的距离，几何法用 Rt△PAB 斜边上的高，坐标法用等体积换底 V = (1/3)S·d。两法不等，先查法向量与面积，不急着改数。
二、逐题精讲
题1
题1 二面角 P–BC–A 的大小（两法互验）
在三棱锥 P–ABC 中，PA ⊥ 平面 ABC，∠ABC = 90°，AB = BC = PA = 2。(1) 用几何法找出二面角 P–BC–A 的平面角并求其大小。(2) 建立空间直角坐标系，用法向量法求两平面夹角的余弦，并说明与(1)是否一致。
解析
(1) 几何法。 因 PA ⊥ 平面 ABC，得 PA ⊥ BC；又 ∠ABC = 90° 即 AB ⊥ BC。PA、AB 是平面 PAB 内两条相交直线，故 BC ⊥ 平面 PAB。于是 BC ⊥ PB、BC ⊥ AB，∠PBA 即二面角 P–BC–A 的平面角（也可由三垂线定理：AB 是 PB 在底面的射影，BC ⊥ 射影则 ⊥ 斜线）。在 Rt△PAB 中 PA = AB = 2，tan∠PBA = PA/AB = 1，故 ∠PBA = 45°，即二面角为 45°，cos = √2/2。PB = √(2²+2²) = 2√2，可回代 sin∠PBA = PA/PB = 2/(2√2) = √2/2 ✓。
(2) 坐标法。 以 A 为原点，AB、过 A 平行 BC 的方向、AP 分别为 x、y、z 轴：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)。底面 ABC 的法向量取 n₁ = (0,0,1)。平面 PBC：PB = (2,0,−2)，PC = (2,2,−2)，法向量 n₂ = PB × PC = (0·(−2)−(−2)·2, (−2)·2−2·(−2), 2·2−0·2) = (4, 0, 4)，可取 n₂ = (1,0,1)。
cos〈n₁,n₂〉 = (0·1+0·0+1·1)/(1·√2) = 1/√2 = √2/2，两平面夹角（锐角）为 45°，与(1)一致 ✓。
符号提醒：法向量夹角可能是钝角（取决于 n₂ 取向），二面角通常取锐角或按题意取平面角；本题 ∠PBA 明确是 45°，故取 |cos|。若把 n₂ 取成 (−1,0,−1)，cos = −√2/2，取绝对值仍得 45°。
答案 (1) 平面角为 ∠PBA = 45°（BC ⊥ 平面 PAB）。(2) n₁=(0,0,1)、n₂=(1,0,1)，|cos|=√2/2，夹角 45°，两法一致。
采分点 证出 PA⊥BC 与 AB⊥BC 各 1 分；推出 BC⊥平面 PAB 1 分；指认 ∠PBA 为平面角 1 分；tan=1 得 45° 1 分；坐标与四点坐标准确 1 分；叉积求 n₂ 1 分；|cos|=√2/2 1 分；说明法向量取向与取绝对值、两法互验 1 分。
易错点 把 ∠PAB（90°）误当二面角的平面角；不证 BC⊥平面 PAB 就直接用 ∠PBA；叉积算错符号后不取绝对值，答出 135°；把 C 写成 (0,2,0)（与 ∠ABC=90° 不符，应为 (2,2,0)）；坐标法与几何法不等时直接改数而不查法向量。
题2
题2 点 A 到平面 PBC 的距离（两法互验）与参数变化
(1) 用几何法与等体积法分别求点 A 到平面 PBC 的距离 d。(2) 若把 PA 改为 3，其余不变，重新求二面角正切值与 d，并说明 d 随 PA 增大如何变化（不必求导，给出趋势与理由）。
解析
(1) 几何法。 由题1 知 BC ⊥ 平面 PAB，故平面 PBC ⊥ 平面 PAB，交线为 PB。在平面 PAB 内作 AH ⊥ PB 于 H，则 AH ⊥ 平面 PBC，AH 即所求距离。Rt△PAB 斜边上的高 AH = PA·AB/PB = 2·2/(2√2) = √2。等体积法。 S△ABC = (1/2)·2·2 = 2，V = (1/3)·2·2 = 4/3。又 BC ⊥ PB，S△PBC = (1/2)·BC·PB = (1/2)·2·2√2 = 2√2。由 V = (1/3)S△PBC·d 得 d = 3V/S = 4/(2√2) = √2 ✓ 两法一致。
坐标法第三验：平面 PBC 过 P(0,0,2)，法向量 (1,0,1)，方程 x + z − 2 = 0；A(0,0,0) 到该平面距离 |0+0−2|/√(1²+0²+1²) = 2/√2 = √2 ✓。
(2) PA = 3 时。 PB = √(3²+2²) = √13；tan∠PBA = PA/AB = 3/2 = 1.5，二面角 ≈ 56.31°（cos = 2/√13）。V = (1/3)·2·3 = 2；S△PBC = (1/2)·2·√13 = √13；d = 3·2/√13 = 6/√13 ≈ 1.6641（也可用 PA·AB/PB = 3·2/√13 = 6/√13 ✓ 两法再一致）。
趋势：设 PA = h，则 PB = √(h²+4)，d = 2h/√(h²+4)。h 增大时 d 增大但趋近于 2（AB 的长度）：h→∞ 时 d→2；h→0 时 d→0。h=2 时 d=√2≈1.4142，h=3 时 1.6641，确为递增且增速放缓。理由：d = 2/√(1+4/h²)，分母随 h 增大而减小并趋于 1，故 d 单调增、上界为 2（几何上，AH 是 Rt△ 斜边高，永远不超过直角边 AB）。
答案 (1) d = √2（几何法 AH=PA·AB/PB；等体积法 3V/S；坐标法 2/√2，三路一致）。(2) PA=3 时 tan=3/2、d=6/√13≈1.6641；d=2h/√(h²+4) 随 h 单调增且趋近于 2。
采分点 几何法证 AH⊥平面 PBC 1 分；AH=PA·AB/PB=√2 1 分；V=4/3 1 分；S△PBC=2√2 1 分；d=3V/S=√2 1 分；坐标法平面方程与距离第三验 1 分；PA=3 重算 tan 与 d 各 1 分；给出 d=2h/√(h²+4) 与上界 2 的单调性理由 1 分。
易错点 把 S△PBC 用 (1/2)·BC·PA 算（PA 不垂直于 BC 所在平面内的 PB，高应是 PB 不是 PA）；等体积换底时漏乘 3；把 d=2h/√(h²+4) 写成随 h 减小；认为 h→∞ 时 d→∞，忽略直角边 AB 是上界；只算一法不互验。
三、规律小结与对照表
| 量 | 几何法 | 坐标／体积法 | 本题自编数值 | 互验关系 |
|---|---|---|---|---|
| BC ⊥ 平面 PAB | PA⊥BC 且 AB⊥BC | n(PAB)=(0,1,0) 与 BC=(0,2,0) | — | 两法前提一致 |
| 平面角 | ∠PBA，tan=PA/AB=1 | |cos〈n₁,n₂〉|=√2/2 | 45° | tan 与 cos 互换一致 |
| PB | √(PA²+AB²)=2√2 | C(2,2,0)、P(0,0,2) | 2√2≈2.8284 | sin=PA/PB=√2/2 |
| V(P–ABC) | (1/3)·S△ABC·PA | 换底 (1/3)·S△PBC·d | 4/3 | 两式相等解出 d |
| S△PBC | (1/2)·BC·PB=2√2 | |PB×PC|/2=|(4,0,4)|/2 | 2√2≈2.8284 | 叉积模长校验 |
| d(A→PBC) | AH=PA·AB/PB=√2 | |0+0−2|/√2=√2 | √2≈1.4142 | 三路一致 |
| PA=3 时 | tan=3/2，PB=√13 | d=6/√13 | ≈1.6641 | 两法再一致 |
| 趋势 | d=2h/√(h²+4) | =2/√(1+4/h²) | 单调增，上界 2 | 极限 h→∞ 得 2 |
立体几何不怕算，怕只算一路。二面角用三垂线定理找平面角、用法向量算 |cos|，距离用斜边高、等体积换底、点到平面公式三路，本题全部落在 √2 与 45° 上；PA 改成 3 后三路仍同时给出 6/√13 与 tan=3/2，说明结构没变、只是参数变了。若两路不等，先查法向量取向、面积公式里的「高是不是 PB」、体积有没有漏乘 3，再考虑改数。图形与数值均为自编示意。
四、自测清单
- □ 先证线面垂直，再指认平面角，不跳步；
- □ 坐标建系后把四个点坐标逐个回代题设角度与长度；
- □ 法向量夹角记得取绝对值，二面角按题意取锐角或平面角；
- □ S△PBC 的高是 PB（因 BC⊥平面 PAB），不是 PA；
- □ 等体积换底写成 V=(1/3)S·d，解 d 时乘回 3；
- □ 至少两路互验，不等先查法向量与面积，不先改题给数据。
