题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
做概率题先写一句「我是在哪个范围里取比值」。P(A) 在全体里取；P(A|B) 在「B 已发生」这个缩小后的范围里取；而「已知结果反推来源」用的是 P(B|A)·P(A)/P(B)，分母是全概率，不是先验概率。范围一写清，公式就不用背了。
再分两个模型：有放回/独立重复用二项分布 B(n,p)，E(X)=np、Var(X)=np(1−p)；不放回、从有限总体里抽用超几何，分母是 C(N,n)，不能按二项硬套。下面合格率、批量与抽检数均为自编示意取值，与任何真实生产数据无关。
二、逐题精讲
题1
题1 全概率与反向归因（两解互验）
自编示意：某批零件来自两条产线，A 线占 60%、次品率 2%，B 线占 40%、次品率 5%；两线混合均匀后任取一件。
(1) 求取到次品的概率；(2) 已知取到的是次品，求它来自 A 线的概率；(3) 用「设 1000 件」的整数计数法重做 (1)(2)，验证结果。
解析
(1) 全概率： P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) = 0.60×0.02 + 0.40×0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032（3.2%）。(2) 反向归因： P(A|D) = P(A∩D)/P(D) = 0.012 / 0.032 = 0.375（37.5%）。注意不是 0.60：虽然 A 线占六成，但其次品率低，故在「次品」这个缩小后的范围里 A 的份额被压到 37.5%；B 线占 0.020/0.032 = 0.625 ✓ 两者和为 1，可作自检。
(3) 整数计数互验： 设共 1000 件 → A 线 600 件，次品 600×0.02 = 12 件；B 线 400 件，次品 400×0.05 = 20 件；合计次品 32 件。
P(D) = 32/1000 = 0.032 ✓；P(A|D) = 12/32 = 0.375 ✓。两路完全一致。
关口提醒： 分母 32 是「次品全体」，不是 1000、也不是 600；把「已知是次品」读成「已知来自 A 线」就正好把条件与结论调反了。
答案 (1) P(D)=0.032；(2) P(A|D)=0.012/0.032=0.375（B 为 0.625，和为 1 自检）；(3) 1000 件法：32 件次品中 A 线 12 件 → 12/32=0.375 ✓。
采分点 全概率两项各 1 分、结果 1 分；贝叶斯分子分母各 1 分、结果 1 分；整数法两路数值各 1 分；「和为 1」自检 1 分；说明分母是次品全体 1 分。
易错点 把 P(A|D) 直接写成 0.60；把分母写成 P(A)=0.60 或 1；全概率漏乘产线占比，直接把 2% 与 5% 相加；整数法里把 600×0.02 算成 120；两线后验概率相加不为 1 却未察觉。
题2
题2 二项分布与超几何（两解互验）
(1) 自编示意：某工序产品合格率 0.90，独立抽取 5 件（有放回/可视为独立）。设 X 为合格件数，求 P(X=4)、P(X≥4)、E(X) 与 Var(X)。
(2) 另有一盒 8 件，其中 3 件次品、5 件合格，不放回任取 3 件，求恰有 1 件次品的概率；并说明为什么不能用二项分布 B(3, 3/8) 计算。
解析
(1) X ~ B(5, 0.90)：P(X=4) = C(5,4)·0.9⁴·0.1 = 5 × 0.6561 × 0.1 = 0.32805；
P(X=5) = 0.9⁵ = 0.59049；P(X≥4) = 0.32805 + 0.59049 = 0.91854；
E(X) = np = 5×0.90 = 4.5；Var(X) = np(1−p) = 5×0.90×0.10 = 0.45（σ = √0.45 ≈ 0.6708）。
互验： 用补集 P(X≥4) = 1 − P(X≤3)；也可逐项展开 Σ_{k=0}^{5} C(5,k)0.9^k 0.1^{5−k} = (0.9+0.1)⁵ = 1 ✓ 全概率归一。另 P(X=0)+…+P(X=5) 逐项相加为 1，期望亦可由 Σk·P(X=k) 回代得 4.5 ✓。
(2) 超几何： 从 8 件取 3 件共 C(8,3) = 56 种；恰 1 件次品需从 3 件次品取 1、从 5 件合格取 2：
P = C(3,1)·C(5,2) / C(8,3) = 3 × 10 / 56 = 30/56 = 15/28 ≈ 0.5357。
互验（按次品数分解）： P(0) = C(3,0)C(5,3)/56 = 10/56；P(1)=30/56；P(2)=C(3,2)C(5,1)/56 = 15/56；P(3)=C(3,3)C(5,0)/56 = 1/56；合计 (10+30+15+1)/56 = 56/56 = 1 ✓。
为何不能用 B(3, 3/8)： 二项分布要求各次试验独立且 p 恒定；不放回抽取时，第一次结果会改变盒中次品比例（若首件为次品，剩余 7 件中次品仅 2 件，p 由 3/8 变为 2/7），各次不独立、p 不恒定。硬套会得 C(3,1)(3/8)(5/8)² ≈ 0.4395，与 15/28 明显不等，正好可作反证。总体小、抽取比例大时二者差别不可忽略。
答案 (1) P(X=4)=0.32805，P(X≥4)=0.91854，E(X)=4.5，Var(X)=0.45；(2) P=15/28≈0.5357；不放回使各次不独立、p 变动，不能用二项分布（硬套约 0.4395，可反证）。
采分点 (1) 四项各 1 分，归一互验 1 分；(2) 分子分母与结果各 1 分，按次品数分解归一 1 分；「不独立/p 不恒定」说明 2 分；硬套数值反证 1 分。
易错点 把 P(X≥4) 只写成 P(X=4)；Var 写成 np 或 np²；把超几何分母写成 8³ 或 C(8,1)C(7,1)C(6,1)（有序抽取却用无序分子）；不放回仍套二项；把「恰 1 件次品」写成 C(3,1)C(5,2)/C(8,3) 后忘记 C(5,2)=10。
三、规律小结与对照表
| 模型 | 自编题给 | 关系式 | 样本空间 |
|---|---|---|---|
| 全概率 | A 60%/2%，B 40%/5% | 0.6·0.02+0.4·0.05=0.032 | 全部 1000 件 |
| 反向归因 | 已知是次品求来自 A | 0.012/0.032=0.375 | 全体次品 32 件 |
| 二项分布 | B(5,0.90) | C(5,4)0.9⁴0.1=0.32805 | 5 次独立重复 |
| 期望与方差 | np / np(1−p) | 4.5 / 0.45 | 归一 ΣP=1 自检 |
| 超几何 | 8 件取 3，恰 1 次品 | C(3,1)C(5,2)/C(8,3)=15/28 | 56 个无序组合 |
| 不适用二项 | 不放回 | p 由 3/8→2/7 | 各次不独立 |
| 归一自检 | P(0)+…+P(3) | 56/56=1 | 防止漏项 |
概率题收尾固定两问：「分母是哪个范围？」与「各次独立吗？」。前者分清先验、条件与后验，后者分清二项与超几何；再用「归一」（所有互斥情形相加为 1）和「设整数件数」两路互验，算错几乎都能当场抓出来。本文合格率、批量与抽检数均为自编示意取值，不代表任何真实生产数据。
四、自测清单
- □ 动笔先写「在哪个范围里取比值」，分母随条件变化；
- □ 全概率按来源加权，别把两个次品率直接相加；
- □ 后验概率用 P(来源∩次品)/P(次品)，并与另一来源相加验和为 1；
- □ 二项分布只在独立且 p 恒定时用，E=np、Var=np(1−p)；
- □ 不放回优先超几何，分子分母都用组合数、口径一致；
- □ 用归一自检与「设 1000 件」整数法各验一遍。
