联招物理·共鸣管（驻波）法测声速与管口修正

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

音叉在管口发声，管内空气柱形成驻波：闭口端是位移波节、开口端是位移波腹。因开口处的波腹略在管口之外，实际有效长度要加一个端修正 e，于是共鸣条件为

L₁ + e = λ/4，L₂ + e = 3λ/4，L₃ + e = 5λ/4 …（相邻共鸣长度对应奇数个 λ/4）。

两式相减：L₂ − L₁ = λ/2，e 被消掉。所以 v = fλ = 2f(L₂ − L₁)——这就是本法的全部关键：不测 e、也不依赖管径，只用相邻两次共鸣的长度差。下面频率与长度均为自编示意读数。

二、逐题精讲

题1

题1 由相邻两次共鸣求波长与声速

自编示意：一端封闭的共鸣管，水面可调；用频率 f₁ = 512 Hz 的音叉在管口激发，缓慢下降水面，先后两次听到明显共鸣，测得空气柱长度 L₁ = 0.163 m、L₂ = 0.496 m。
(1) 求声波波长 λ₁ 与声速 v₁；(2) 说明为什么用 L₂ − L₁ 而不用 L₁ 直接算 λ；(3) 若误把 L₁ 当作 λ/4，会算出多大的声速？偏差方向如何？

解析

(2) 因为开口端波腹在管口外侧，有效长度是 L + e 而不是 L；单次式 L₁ + e = λ/4 里含有未知的 e，不测管径、不作修正就无法单独求 λ。相邻两式相减把 e 消去，只剩可测的 ΔL，故 λ = 2(L₂ − L₁) 与 e 无关，系统误差显著减小。这也是「不追求单次精度、追求两次差」的实验设计思路。

(3) 若误用 λ′ = 4L₁ = 4 × 0.163 = 0.652 m，则 v′ = 512 × 0.652 = 333.8 m/s，比 341 m/s 偏低约 7.2 m/s（约 2.1%）。
偏差方向解释：真实有效长度 = L₁ + e > L₁，故把 L₁ 当 λ/4 会低估波长，声速随之偏小；e 越大，低估越明显。数值回代：4(L₁+e) = 4 × 0.1665 = 0.666 = λ₁ ✓，恰好补回那 0.014 m 的差（= 4e = 0.014 m → e = 0.0035 m）。

答案　(1) λ₁ = 0.666 m，v₁ ≈ 341 m/s；(2) 单次式含未知端修正 e，相邻两次相减可消去 e；(3) 误用 4L₁ 得 v′ ≈ 333.8 m/s，偏低约 2.1%（因低估了有效长度）。

采分点　(1) ΔL=0.333 1 分、λ=2ΔL 2 分、v=341 m/s 1 分、回代两次读数 1 分、驻波条件与 3:1 核对 1 分；(2) 写出 L+e 与相消 e 2 分、说明系统误差减小 1 分；(3) 333.8 与偏低方向各 1 分、4e=0.014 回代 1 分。

易错点　把 L₂ − L₁ 当成 λ 或 λ/4（漏乘 2）；把两次共鸣判成「基模与二次谐波」（闭管只有奇次）；用 L₁ 直接算 λ 却说不出端修正；把 e 的影响方向写成「使声速偏大」；忽略单位，把 0.333 m 写成 33.3 cm 又代回米制公式。

题2

题2 两组频率、端修正与温度估计（多量回代）

同一自编装置，换用 f₂ = 384 Hz 的音叉，测得相邻两次共鸣长度 L₁′ = 0.220 m、L₂′ = 0.663 m；管口内径 d = 2.0 cm。取经验式 e ≈ 0.3d、声速温度式 v ≈ 331 + 0.6t（t 为摄氏温度，自编示意常数）。
(1) 由第二组求 λ₂ 与 v₂，并与第一组取平均；(2) 由第一组的 L₁ 反推端修正 e，与 0.3d 比较；(3) 由平均声速估室温 t，并说明这一估计的局限。

解析

(2) 由 L₁ + e = λ₁/4 = 0.666/4 = 0.1665 m，得 e = 0.1665 − 0.163 = 0.0035 m = 3.5 mm。
用 L₂ 独立核对：3λ₁/4 = 0.4995 m，e = 0.4995 − 0.496 = 0.0035 m ✓ 两次一致。
经验式 e ≈ 0.3d = 0.3 × 2.0 cm = 0.6 cm = 6.0 mm。比较：同量级但经验值偏大约 71%（6.0 vs 3.5 mm），说明 e ≈ 0.3d 只是粗略近似，实际端修正还受管口形状、法兰、频率与周围障碍影响；这也再次说明为什么本实验要用「相邻两次相减」把 e 消掉，而不是拿经验值去补单次长度。
（若改用经验 e=6.0 mm 反算 λ = 4(L₁+e) = 4 × 0.169 = 0.676 m，v = 512 × 0.676 = 346 m/s，反而比 341 偏大，进一步印证经验值不可硬套。）

(3) 由 v̄ ≈ 331 + 0.6t 得 t ≈ (340.608 − 331)/0.6 = 9.608/0.6 ≈ 16.0 ℃。
回代：331 + 0.6 × 16.0 = 340.6 ✓。
局限（须写明）：① 该式是干空气、常压附近的一阶近似，湿度、气压、CO₂ 含量变化都会带来偏差；② 声速测量本身有读数误差（共鸣最强点靠耳判，L 的 ±1 mm 就会让 v 变动约 1~2 m/s，折合 t 约 2~3 ℃），故 t 只能作粗略估计，不是温度计读数；③ 本组为自编示意数据，v̄ 与 t 的对应关系仅用于演示误差传递，不代表真实气温。

答案　(1) λ₂ = 0.886 m、v₂ ≈ 340 m/s，平均 v̄ ≈ 340.6 m/s；(2) e = 3.5 mm（两次读数一致），经验 0.3d = 6.0 mm 偏大；(3) t ≈ 16.0 ℃，属干空气常压下一阶近似的粗略估计。

采分点　(1) ΔL′ 与 λ₂ 各 1 分、v₂ 1 分、平均值 1 分、两组互验 1 分；(2) 由 L₁ 与 L₂ 两路求 e 各 1 分、0.3d 数值 1 分、比较与「经验式不可硬套」2 分；(3) 反解 t 与回代各 1 分、三条局限各 1 分。

易错点　第二组把 ΔL′ 算成 0.883 m；平均时把两组声速相加不除 2；反推 e 用 3λ/4 时算成 0.4995 − 0.496 却写成 0.035 m；把 0.3d 的 d 用成半径；由 v 估 t 时把 (v−331) 乘 0.6 而非除以 0.6；把 16 ℃ 当成精密测温结果而漏写局限。

三、规律小结与对照表

共鸣管法最值得记的不是公式，而是那个设计思路：与其费力测管口端修正 e，不如取相邻两次共鸣长度之差，让 e 自己抵消。剩下的活儿是三件——用奇次 λ/4 判对谐波、把 ΔL 乘 2 得波长、再用两组频率互验；反推 e 或估温度时都把「经验式只是粗略近似」写进结论。频率、长度、管径、常数与温度均为自编示意，不代表真实测量；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

• □ 闭管共鸣只取奇次 λ/4：λ/4、3λ/4、5λ/4；
• □ 用相邻两次 ΔL = λ/2，把端修正 e 消掉，别用单次 L；
• □ 声速写 v = 2fΔL，并回代 λ = v/f 验一次；
• □ 反推 e 时用 L₁ 与 L₂ 两路互验，数值应一致；
• □ 经验 e≈0.3d 只作量级对照，不硬套进正式计算；
• □ 由 v 估 t 时说明干空气常压、一阶近似与读数误差；
• □ 两组频率互查 ΔL 与 f 是否近似成反比。