联招物理·全反射临界角法测透明材料折射率

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

光从光密介质射向光疏介质（材料 → 空气）时，入射角增大到某一值，折射角达到 90°，再大就只剩反射——这个角叫临界角 C。由折射定律 n·sin C = 1·sin 90° = 1，得

n = 1 / sin C（空气折射率取 1.00）。

这法的优点是把「测两个角再算比值」压成「测一个角」；代价是 n 对 C 很敏感，测角差半度，n 就会动到小数点后第二位。所以完整作答要有三步：写明光路条件（从材料射向空气、C 是材料内的角）→ 代入求 n → 把测角误差传进 n（端点法或微分法）。下面读数与材料均为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 由临界角求折射率，换波长后求新临界角

自编示意：某透明材料制成的半圆块，光从圆弧面沿半径入射（在圆弧面不发生偏折），在平面处由材料射向空气。缓慢增大入射角，测得刚好发生全反射时的临界角 C = 42.0°（sin42.0° ≈ 0.6691，空气折射率取 1.00）。
(1) 求该材料对这一波长光的折射率 n；(2) 换用波长较长的光，已知此时 n′ = 1.470，求新的临界角 C′（可用 arcsin 表示并给出近似角度）；(3) 说明为什么「插针法」与「全反射法」测同一材料、同一波长的光，结果应当一致；若明显不一致，列举两个可能原因。

解析

(2) sin C′ = 1/n′ = 1/1.470 ≈ 0.68027，故 C′ = arcsin(0.68027) ≈ 42.87° ≈ 42.9°。
方向核对：n 变小（1.4945 → 1.470），sin C = 1/n 变大，C 随之变大（42.0° → 42.9°），与「波长变长、折射率通常略降、临界角略增」的自编示意设定一致。数值回代：sin42.87° ≈ 0.6803，1/0.6803 ≈ 1.470 ✓。
（用微分快速估：ΔC ≈ −Δn/(n·cos C 的相应形式)，此处直接反算更干净，不硬套近似式。）

(3) 一致性的理由：两法测的都是同一材料对同一波长光的折射率 n，且都源于同一条折射定律 n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂——插针法由「空气→材料」的入射角与折射角算 n = sin i / sin r，全反射法由「材料→空气」的临界角算 n = 1/sin C，是同一常数 n 的两种可互推的测量路径（光路可逆）。故在误差范围内应一致。
不一致的可能原因（任举两条）：① 波长不同——两法若用了不同光源，n 本身随波长变（色散），结果自然不同；② 材料表面状态——平面处有污膜、划痕或吸附层，改变了实际界面，使临界角判读偏移；③ 判读「刚好全反射」的主观误差——折射光消失的临界点靠肉眼判断，容易偏大半度；④ 温度差异或半圆块与插针法用的不是同一块样品（材料不均匀）；⑤ 插针法中玻璃砖界面与所画线不重合、大头针间距过近带来的作图误差。注意：「两法原理不同所以结果本来就不该一样」是错误说法，不能作为答案。

答案　(1) n ≈ 1.49（1.4945）；(2) C′ = arcsin(1/1.470) ≈ 42.9°；(3) 两法同源于折射定律、光路可逆，测同一 n 故应一致；不一致可从波长/表面状态/临界判读/温度与样品差异/插针作图误差中任举两条。

采分点　写出 n sin C = 1 与光路条件 2 分；(1) 数值与回代各 1 分；(2) sin C′=1/n′ 1 分、arcsin 与近似角度各 1 分、方向核对 1 分；(3) 同一常数与光路可逆各 1 分、两条原因各 1 分、排除「原理不同本就不一致」1 分。

易错点　把 C 当成空气中的角，或写成光由空气射入材料；把 n 写成 sin C（得 0.669）；第(2)问写成 C′ = arcsin(n′) 或把角度变小；忽略「同一波长」这一前提就谈一致性；把「表面有污膜」答成「全反射法原理错了」；arcsin 结果没换成度数。

题2

题2 测角不确定度如何传进 n（两路互验）

仍取题1 的自编装置。某次测角仪读数为 C = 42.0° ± 0.5°（即 C 可能落在 41.5° ~ 42.5°），sin41.5° ≈ 0.6626、sin42.5° ≈ 0.6756。
(1) 用端点法求 n 的取值范围与中心值的不确定度；(2) 用微分法估算 |dn| 并与端点法对照；(3) 若要让 n 的不确定度降到 ±0.005 以内，测角精度需提高到约多少度？

解析

(2) 微分法：n = 1/sin C = (sin C)⁻¹，
dn/dC = −cos C / sin² C（C 用弧度）。取 C = 42.0°：cos42.0° ≈ 0.7431、sin²42.0° ≈ 0.4477，得 |dn/dC| ≈ 0.7431/0.4477 ≈ 1.6597 rad⁻¹。
ΔC = 0.5° = 0.5 × π/180 ≈ 8.727 × 10⁻³ rad，故 |dn| ≈ 1.6597 × 8.727×10⁻³ ≈ 0.0145。
两路对照：端点法给 ±0.015，微分法给 ±0.0145，相差约 3%，属一阶近似与大区间端点的正常差别；若 ΔC 更小，两者会更贴近。必须把角度换成弧度，直接用 0.5 代入会得 0.83，错得离谱。

(3) 由 |dn| ≈ |dn/dC|·ΔC，要求 |dn| ≤ 0.005：
ΔC ≤ 0.005/1.6597 ≈ 3.01 × 10⁻³ rad = 3.01×10⁻³ × 180/π ≈ 0.173° ≈ 0.17°。
即测角精度约需从 ±0.5° 提高到 ±0.17°（约 ±10′）。回代：1.6597 × (0.17×π/180) = 1.6597 × 2.967×10⁻³ ≈ 0.0049 ≤ 0.005 ✓。这个结论也说明为什么全反射法对测角仪要求较高——半度误差就能让 n 动 0.015。

答案　(1) n ∈ 1.480~1.509，可写 1.495 ± 0.015；(2) |dn| ≈ 0.0145（须把 0.5° 化为弧度）；(3) 测角需约 ±0.17°（≈±10′）。

采分点　(1) 两个端点 n 值各 1 分、中心值与区间 1 分、方向说明 1 分；(2) 写出 dn/dC=−cos C/sin²C 2 分、角度化弧度 1 分、数值 0.0145 1 分、两路对照 1 分；(3) 反解 ΔC 与 0.17° 各 1 分、回代 1 分。

易错点　端点法把「C 大→n 大」写反；微分法忘记把 0.5° 换成弧度；把 dn/dC 写成 +cos C/sin²C 后取绝对值却不说负号的含义；把 ±0.015 写成 ±0.15；第(3)问用 0.005×1.6597（乘反了）得荒谬值；忽略「中心值应取 1/sin42°」而用两端点算术平均（1.4947，近似可用但需说明）。

三、规律小结与对照表

全反射法的题，前半段是代入，后半段是误差怎么被放大。记住三件事：C 必须是材料内射向空气的那个角；n = 1/sin C 对 C 很敏感，半度就能带来约 0.015 的波动；微分法一定要把角度换成弧度。再把插针法与全反射法放回同一条折射定律里看，两法结果的比较题就不会答偏。材料、波长、角度与读数均为自编示意，不代表真实物质常数或测量记录；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

• □ 先写清光路：从材料射向空气，C 是材料内相对法线的角；
• □ 用 n sin C = 1 求 n，并回代 n·sinC 是否等于 1；
• □ 换波长时先判方向：n 变小则 sin C 变大、C 变大；
• □ 端点法注意「C 偏大 → n 偏小」，别把上下限写反；
• □ 微分法把 ΔC 化成弧度，写出 dn/dC = −cosC/sin²C；
• □ 两法一致性回到折射定律与光路可逆，且限定同一波长；
• □ 列不一致原因时从波长、表面、判读、温度、样品里选，不否定原理。