联招数学·二项式定理：指定项、系数和与赋值法

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

二项式定理的全部功夫，压在一行通项上：
(a + b)ⁿ 的第 (k+1) 项 T_k+1 = C_n^k a^n−k b^k（k = 0, 1, …, n）。

把 a、b 具体代进去、把 x 的指数合并成一次式，「求哪一项」就变成解一个一元一次方程；求「系数和」则完全不用展开，靠给 x 赋特殊值。两个要分清：二项式系数只是 C_n^k，项的系数还要把 a、b 里的常数（如 2^k、(−1)^k）乘进去。下面两题数据均为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 由系数和定 n，再求指定项

已知 (x + 2/x²)ⁿ 的展开式中，所有二项式系数之和为 512。
(1) 求 n；(2) 求展开式中的常数项；(3) 求 x³ 项的系数；(4) 判断展开式中是否存在 x² 项，并说明理由。

解析

通项：T_k+1 = C₉^k x^9−k (2/x²)^k = C₉^k 2^k x^9−3k，k = 0, 1, …, 9。

(2) 常数项：令 9 − 3k = 0 → k = 3。系数 = C₉³ · 2³ = 84 × 8 = 672。回代：C₉³ = 9·8·7/(3·2·1) = 84 ✓，2³ = 8 ✓。

(3) x³ 项：令 9 − 3k = 3 → k = 2。系数 = C₉² · 2² = 36 × 4 = 144。

(4) x² 项：令 9 − 3k = 2 → k = 7/3，不是 0~9 的整数，故不存在 x² 项。更快的看法：指数 9 − 3k 恒为 3 的倍数，而 2 不是 3 的倍数，所以所有项的次数只能是 9, 6, 3, 0, −3, −6, −9, −12, −15, −18，x² 必然缺席。

两路互验：把 k = 0 到 9 的指数列出共 10 项，常数项（k=3）与 x³ 项（k=2）各出现一次，无重项；再把 (x + 2/x²)⁹ 各项系数相加（令 x=1）应为 3⁹ = 19683，与题2 的赋值结果一致。

答案　(1) n = 9；(2) 常数项 672；(3) x³ 项系数 144；(4) 不存在 x² 项（9−3k=2 无整数解，指数恒为 3 的倍数）。

采分点　由 2ⁿ=512 得 n=9 并说明与「系数和」区别 2 分；写出通项 C₉ᵏ2ᵏx^(9−3k) 3 分；常数项 k=3 与 672 各 1 分；x³ 项 k=2 与 144 各 1 分；(4) 整数性判断与倍数视角 2 分；回代验算 1 分。

易错点　把「二项式系数和 512」当成「令 x=1 的系数和」，误列 3ⁿ=512；通项里漏掉 2ᵏ 或把 (2/x²)ᵏ 写成 2/x^(2k) 之外的形式；把第 (k+1) 项与 k 的对应搞错；解出 k=7/3 后硬取整；把 C₉³ 算成 504（用了排列数 A₉³）。

题2

题2 赋值法求四类系数和

设 (1 − 2x)⁹ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a₉x⁹。求：
(1) a₀ + a₁ + … + a₉；(2) a₀ − a₁ + a₂ − … − a₉；
(3) a₁ + 2a₂ + 3a₃ + … + 9a₉；(4) a₀ + a₂ + a₄ + a₆ + a₈。

解析

(2) 令 x = −1：f(−1) = (1 + 2)⁹ = 3⁹ = 19683，即 a₀ − a₁ + a₂ − … − a₉ = 19683（9 次项符号为负）。

(3) 求导后赋值：f′(x) = 9(1−2x)⁸·(−2) = −18(1−2x)⁸；另一方面 f′(x) = a₁ + 2a₂x + … + 9a₉x⁸。令 x = 1：f′(1) = −18(−1)⁸ = −18，即所求为 −18。链式法则里的 −2 最易漏；漏了会得 +9。

(4) 奇偶分离：偶次项和 = [f(1) + f(−1)]/2 = (−1 + 19683)/2 = 9841；顺带奇次项和 = [f(1) − f(−1)]/2 = (−1 − 19683)/2 = −9842。

逐项回代验算：a₀ = 1，a₁ = C₉¹(−2) = −18，a₂ = C₉²·4 = 144，a₃ = C₉³(−8) = −672，a₄ = C₉⁴·16 = 2016，a₅ = C₉⁵(−32) = −4032，a₆ = C₉⁶·64 = 5376，a₇ = C₉⁷(−128) = −4608，a₈ = C₉⁸·256 = 2304，a₉ = C₉⁹(−512) = −512。求和：1 − 18 + 144 − 672 + 2016 − 4032 + 5376 − 4608 + 2304 − 512 = −1 ✓；偶次项 1 + 144 + 2016 + 5376 + 2304 = 9841 ✓；加权和 −18 + 2·144 + 3(−672) + 4·2016 + 5(−4032) + 6·5376 + 7(−4608) + 8·2304 + 9(−512) = −18 ✓。三路闭合。

答案　(1) −1；(2) 19683；(3) −18；(4) 9841（奇次项和 −9842）。

采分点　x=1、x=−1 赋值各 2 分；(3) 写出 f′(x) 并令 x=1 共 3 分（漏链式 −2 扣 2 分）；(4) 奇偶分离公式与结果 2 分；逐项系数展开与三路回代 2 分；区分「系数和」与「二项式系数和」1 分。

易错点　(3) 直接令 x=1 代进原式求导式，或漏链式法则的 −2；(2) 把 3⁹ 算成 1968 或 3⁸；(4) 忘记除以 2；把 (−1)⁹ 写成 +1；把二项式系数 C₉ᵏ 与项系数 C₉ᵏ(−2)ᵏ 混为一谈。

三、规律小结与对照表

二项式定理的口诀可以压成四句：通项先合并指数，求项就解一次方程；系数和令 x=1，交错和令 x=−1；带 k 的加权和先求导再赋值；奇偶分离取平均再除二。写完一定回代一次——把十个系数真展开加一遍，比盯着公式看更能挡住符号错。本题组数据为自编示意，解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

• □ 先分清「二项式系数」Cₙᵏ 与「项的系数」Cₙᵏ·常数ᵏ；
• □ 通项写成 Cₙᵏ a^(n−k)bᵏ 后，把 x 的指数合并成一次式；
• □ 解出的 k 必须是 0~n 的整数，分数一律判「不存在」；
• □ 系数和 x=1、交错和 x=−1，别代反；
• □ 加权和先求导，链式法则的因子不能漏；
• □ 奇偶分离记得除以 2；最后把系数逐项展开回代验一遍。