联招数学·中线长与角平分线长公式的推导

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

记号先定死：△ABC 中，a = BC、b = CA、c = AB；m_a 是 BC 边上中线 AD 的长，l_a 是 ∠A 的角平分线 AE 的长。两条公式都要能推出来，而不只是代：

中线走阿波罗尼奥斯定理：AB² + AC² = 2(AD² + BD²)，其中 BD = a/2；角平分线先由角平分线定理分出 BD : DC = c : b，再套斯图尔特定理 b²m + c²n = a(d² + mn)，或走 l_a = 2bc cos(A/2)/(b+c)。下面边长与结果均为自编示意，全部经代数回代验证。

二、逐题精讲

题1

题1 中线长推导与三路验算

自编三角形：a = BC = 6，b = CA = 5，c = AB = 4，D 为 BC 中点。

(1) 由阿波罗尼奥斯定理求中线 m_a = AD；(2) 用向量法独立推导同一公式；(3) 用余弦定理在 △ABD 与 △ACD 中做第三路验算。

解析

(2) 向量法：取 A 为原点，设向量 AB = **u**、AC = **v**，则 |**u**| = c = 4、|**v**| = b = 5，BC = **v** − **u**，故 a² = |**v**−**u**|² = b² + c² − 2**u**·**v** → **u**·**v** = (b²+c²−a²)/2 = (25+16−36)/2 = 5/2。
D 为 BC 中点，AD = (**u** + **v**)/2，故
m_a² = ¼|**u**+**v**|² = ¼(b² + c² + 2**u**·**v**) = ¼(25 + 16 + 5) = 46/4 = 11.5 ✓ 与 (1) 一致。
把 **u**·**v** 的表达式代回即得 m_a² = (2b²+2c²−a²)/4，公式本身也被推出来了，不是只验了数。

(3) 余弦定理第三路：先求 cos B = (a² + c² − b²)/(2ac) = (36+16−25)/(2×6×4) = 27/48 = 9/16。
在 △ABD 中 BD = 3、AB = 4、∠ABD = B：
AD² = AB² + BD² − 2·AB·BD·cos B = 16 + 9 − 2×4×3×(9/16) = 25 − 216/16 = 25 − 13.5 = 11.5 ✓。
再用 △ACD 交叉验：cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) = (36+25−16)/(2×6×5) = 45/60 = 3/4；AD² = AC² + CD² − 2·AC·CD·cos C = 25 + 9 − 2×5×3×(3/4) = 34 − 22.5 = 11.5 ✓。四路（定理、向量、两个三角形）全部闭合。

答案　(1) m_a² = (2b²+2c²−a²)/4 = 11.5，m_a = √46/2 ≈ 3.391；(2) 向量法 m_a² = ¼(b²+c²+2u·v) = 11.5，并推出同一公式；(3) △ABD 与 △ACD 各用余弦定理均得 11.5。

采分点　阿波罗尼奥斯定理写出 2 分；代入与结果 2 分；整理出公式 1 分；向量法 u·v 推导 2 分；¼|u+v|² 结果 1 分；公式推出 1 分；cos B 1 分；两三角形各 1 分；四路闭合结论 1 分。

易错点　阿波罗尼奥斯写成 c²+b² = 2(AD²+BD)（BD 漏平方）；把 a/2 代成 a；向量法把 u·v 符号写成 (a²−b²−c²)/2；第三路漏乘 2 或把 cos B 代成 cos C；只验一个数就说「公式得证」。

题2

题2 角平分线长推导与两法互验

承接题1，E 为 ∠A 的角平分线与 BC 的交点。

(1) 由角平分线定理求 BE、EC；(2) 用斯图尔特定理求 l_a = AE；(3) 用 l_a = 2bc cos(A/2)/(b+c) 独立验算；(4) 比较 m_a 与 l_a 的大小并说明是否普遍。

解析

(2) 斯图尔特定理：对 cevian AE，记 m = BE = 8/3、n = EC = 10/3、a = m+n = 6、d = l_a，公式为 b²m + c²n = a(d² + mn)（注意 b 对的是 n 侧、c 对的是 m 侧，按图对应不能互换）。
左边 = 25×(8/3) + 16×(10/3) = 200/3 + 160/3 = 360/3 = 120。
右边 = 6(d² + (8/3)(10/3)) = 6d² + 6×80/9 = 6d² + 160/3。
令两式相等：120 = 6d² + 160/3 → 6d² = 120 − 160/3 = 200/3 → d² = 100/9 → l_a = 10/3 ≈ 3.333。
整理成通式：l_a² = bc[1 − a²/(b+c)²] = bc[(b+c)² − a²]/(b+c)²，即 l_a = √(bc[(b+c)²−a²])/(b+c)。本题 √(20×45)/9 = 30/9 = 10/3 ✓。

(3) 第二路验算：先由余弦定理 cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) = (25+16−36)/40 = 5/40 = 1/8。
半角：cos(A/2) = √((1+cos A)/2) = √(9/16) = 3/4。
l_a = 2bc cos(A/2)/(b+c) = 2×5×4×(3/4)/9 = 30/9 = 10/3 ✓ 两路一致。
再把 √(bc[(b+c)²−a²])/(b+c) 与 2bc cos(A/2)/(b+c) 用 cos A 代换连起来，可证两式恒等，公式本身得证。

(4) 比较：m_a = √11.5 ≈ 3.391 > l_a = 10/3 ≈ 3.333，本题中线略长。
不普遍：两者都是 A 到 BC 上某点的距离，但落点不同（D 是中点，E 按 c:b 分点）。当 b = c（等腰）时 D 与 E 重合，m_a = l_a；当 b ≠ c 时一般不等，且大小关系随边长组合而变。写「仅当 b=c 时相等、本题恰 b≠c」才算把结论说全，只比较数值不给分。

答案　(1) BE=8/3，EC=10/3；(2) 斯图尔特定理得 l_a=10/3，通式 l_a=√(bc[(b+c)²−a²])/(b+c)；(3) cosA=1/8、cos(A/2)=3/4，另一式同得 10/3；(4) 本题 m_a≈3.391 > l_a≈3.333，但不普遍，仅 b=c 时两者相等。

采分点　角平分线定理与两段数值 2 分；斯图尔特定理列式 2 分；左右两边计算各 1 分；l_a 结果 1 分；通式整理 1 分；cos A 1 分；半角公式 1 分；第二路结果 1 分；两式恒等说明 1 分；数值比较 1 分；「不普遍/仅等腰相等」2 分。

易错点　角平分线定理把比例写成 b:c（应为 c:b，即 AB:AC）；斯图尔特定理把 b² 与 c² 配错 n、m；半角公式写成 √((1−cosA)/2)（那是 sin(A/2)）；通式里漏掉 a² 项；(4) 只比数值不讨论普遍性，或断言「中线总比角平分线长」。

三、规律小结与对照表

这两条公式的分数在「推」不在「代」：中线用阿波罗尼奥斯或向量点积，角平分线用「先分点、再斯图尔特」，最后再用余弦定理/半角式各验一遍。本题四路数值全落在 11.5 与 10/3 上，任何一路对不上就说明系数配错了。边长与结果均为自编示意数据，全部经代数回代验证。

四、自测清单

• 记号先定死：a 对 A，b=CA，c=AB，别把 b、c 对调
• 中线公式里是 (a/2)²，不是 a²；向量法先求 u·v
• 角平分线定理比例是 c:b（AB:AC），分点别写反
• 斯图尔特定理的 b²m + c²n 与 m、n 的对应要按图核
• 半角用 cos(A/2)=√((1+cosA)/2)，别与 sin 混
• 比较 m_a 与 l_a 时讨论 b=c 的特例，别把个别当普遍