题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
牛顿—莱布尼茨公式一句话：∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)，其中 F′(x) = f(x)。题目真正考的是公式之前那两步：被积函数是谁（面积题要「上曲线减下曲线」，运动题就是速度函数）、区间从哪到哪（面积题由交点定，运动题由时间定）。
运动题还多一道关：位移是 ∫v dt 的代数和，路程是 ∫|v| dt；若 v 在区间内变号，必须分段。所以先判 v 的符号（本题 v(t) = 3t² − 2t + 1 的判别式 4 − 12 < 0 且首项系数为正，恒正），确认不变号后位移＝路程，能省一段讨论。下面两题数据均为自编示意。
二、逐题精讲
题1
题1 两条曲线围成的面积
(1) 求由抛物线 y = x² 与直线 y = 2x 所围成封闭图形的面积 S₁。
(2) 求由 y = √x、y = 0（x 轴）与直线 x = 4 所围成图形的面积 S₂。
(3) 若把 (2) 中的竖线改为 x = 9，面积变为多少？说明它与 S₂ 的倍数关系。
解析
(1) 先定区间：联立 x² = 2x → x(x − 2) = 0 → x = 0 与 x = 2，即两交点为 (0,0)、(2,4)。在 0 < x < 2 上取 x = 1：直线 y = 2、抛物线 y = 1，故上曲线是 2x、下曲线是 x²。S₁ = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³/3]₀² = (4 − 8/3) − 0 = 4/3。
回代验算：F′(x) = 2x − x² ✓；也可按「矩形减抛物线下面积」核对：矩形 2×4 = 8，∫₀²x²dx = 8/3，∫₀²2x dx = 4，差 4 − 8/3 = 4/3 ✓。
(2) 区间 [0, 4]，上曲线 √x、下曲线 0。S₂ = ∫₀⁴ x1/2 dx = [(2/3)x3/2]₀⁴ = (2/3) × 43/2 = (2/3) × 8 = 16/3。
注意 43/2 = (√4)³ = 8，不是 4×3/2；原函数系数 2/3 也不能写成 3/2。
(3) x = 9 时 S₃ = (2/3) × 93/2 = (2/3) × 27 = 18。倍数 S₃/S₂ = 18 ÷ (16/3) = 54/16 = 27/8 = 3.375。
尺度解释：对 y = √x，从 0 到 a 的面积 ∝ a3/2，故倍数应为 (9/4)3/2 = (3/2)³ = 27/8 ✓，与直接计算一致——这一路不用重算积分就能验出结果。
答案 (1) S₁ = 4/3；(2) S₂ = 16/3；(3) S₃ = 18，为 S₂ 的 27/8 倍（= (9/4)^(3/2)）。
采分点 (1) 求交点定上下限 2 分、判定上减下 1 分、写出原函数 1 分、4/3 1 分、回代验算 1 分；(2) 原函数 (2/3)x^(3/2) 2 分、4^(3/2)=8 与 16/3 各 1 分；(3) 9^(3/2)=27 与 18 各 1 分、倍数与尺度解释 2 分。
易错点 不先求交点就默认从 0 积到 1；把「上减下」写反成 x²−2x 得 −4/3 后取绝对值蒙对；把 √x 的原函数写成 (3/2)x^(3/2) 或 x^(3/2)；算 4^(3/2) 得 6；第(3)问按长度倍数 9/4 硬套，漏掉 a^(3/2) 的尺度律。
题2
题2 变速直线运动：位移、路程与瞬时加速度
自编示意：一物体沿直线运动，速度 v(t) = 3t² − 2t + 1（单位 m/s，t 单位 s）。
(1) 判断 v(t) 在 t ∈ [0, 2] 上是否变号；(2) 求 0 到 2 s 内的位移 s；(3) 求同一时段的路程 L；(4) 求 t = 1 s 时的瞬时加速度 a(1)；(5) 若只把区间改为 [0, 3]，位移变为多少？
解析
(1) 判号：v(t) = 3t² − 2t + 1 是开口向上的二次函数，判别式 Δ = (−2)² − 4×3×1 = 4 − 12 = −8 < 0，且首项系数 3 > 0，故 v(t) > 0 恒成立。也可配方：3(t − 1/3)² + 2/3 ≥ 2/3 > 0，两路一致。结论：区间内不变号，位移与路程相等，无需分段。(2) 位移：s = ∫₀² (3t² − 2t + 1) dt = [t³ − t² + t]₀² = (8 − 4 + 2) − 0 = 6 m。
原函数逐项核对：(3t²)→t³、(−2t)→−t²、(1)→t，求导回代 3t²−2t+1 ✓。端点 F(2) = 6、F(0) = 0。
(3) 路程：由 (1) v > 0，L = ∫₀² |v| dt = ∫₀² v dt = 6 m。写法分：必须先写「因 v 恒正，故 L = s」，只写 6 m 不给判断分；若 v 变号，则要找零点 t₀ 并分段算 ∫₀^{t₀}v dt − ∫_{t₀}² v dt。
(4) 加速度：a(t) = v′(t) = 6t − 2，故 a(1) = 6 − 2 = 4 m/s²。单位别漏：v 是 m/s、a 是 m/s²；也不要把 a 误当成 ∫v dt。
(5) s(0→3) = [t³ − t² + t]₀³ = 27 − 9 + 3 = 21 m。
增量核对：2→3 s 这一段走了 21 − 6 = 15 m；直接算 ∫₂³ v dt = F(3) − F(2) = 21 − 6 = 15 ✓。另一路用平均速度粗验：v(2) = 12 − 4 + 1 = 9、v(3) = 27 − 6 + 1 = 22，凸函数上梯形法给 (9+22)/2 × 1 = 15.5 m，略大于 15 m（凸函数梯形高估），方向合理，未抹平。
答案 (1) v(t)>0 恒成立（Δ=−8<0，或 3(t−1/3)²+2/3）；(2) 位移 6 m；(3) 路程 6 m；(4) a(1)=4 m/s²；(5) 0→3 s 位移 21 m。
采分点 (1) 判别式或配方判号 2 分、得出「不变号→无需分段」1 分；(2) 原函数 1 分、F(2)−F(0)=6 1 分、求导回代 1 分；(3) 写出 L=∫|v|dt 并说明因 v>0 故 L=s 2 分；(4) a=v′ 与 4 m/s² 各 1 分、单位 1 分；(5) F(3)=21 1 分、增量与梯形法核对 1 分。
易错点 不判 v 符号就直接写「路程＝位移」（结论对但丢判断分，换一道变号的题就全错）；把原函数写成 t³−t² 漏掉 +t；把 a(1) 算成 v(1)=2（混淆速度与加速度）；判别式算成 4−12=−8 却仍写「有两个根」；第(5)问把上限 3 代进 v 得 22 当位移。
三、规律小结与对照表
| 需求 | 公式 | 自编结果 | 把关点 |
|---|---|---|---|
| 面积区间 | 联立求交点 | x=0, 2 | 先定上下限 |
| 面积被积 | 上曲线−下曲线 | 2x−x² | 取点验上下 |
| 幂函数原函数 | ∫x^n = x^(n+1)/(n+1) | ∫√x=(2/3)x^(3/2) | 系数别倒置 |
| 尺度律 | S(0→a)∝a^(3/2) | 27/8 | 不用重算可验 |
| 位移 | ∫v dt = F(b)−F(a) | 6 m | 原函数逐项核对 |
| 路程 | ∫|v| dt | 6 m（v>0） | 变号须分段 |
| 加速度 | a = v′ | 4 m/s² | 不是 ∫v |
| 凸函数粗验 | 梯形法高估 | 15.5 > 15 | 只作方向核对 |
定积分入门题的四句口诀：面积先求交点、上减下；原函数逐项求、再求导回代；运动题先判 v 变不变号，变号才分段；加速度是 v′ 不是 ∫v。再把端点 F(b)、F(a) 单独列出来相减，符号错和漏项基本都能挡住。本题组函数、区间与数值均为自编示意；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
四、自测清单
- □ 面积题先联立求交点，明确积分区间；
- □ 在区间内取一点验证「哪条在上」，写清上减下；
- □ 幂函数原函数系数取 1/(n+1)，写完后求导回代；
- □ 运动题先用判别式/配方判 v 符号，再决定路程要不要分段；
- □ 位移写 F(b)−F(a)，把 F(a)、F(b) 分列，别心算；
- □ 加速度用 v′(t)，单位 m/s²；
- □ 扩大区间时用增量与尺度律各验一次。
