联招数学·复数的三角形式与模、辐角的乘除运算

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

把 z = a + bi 写成 z = r(cosθ + i sinθ)，其中 r = |z| = √(a²+b²)、θ 为辐角（主值常取 (−π, π]）。两条运算规则：

z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)]；z₁/z₂ = (r₁/r₂)[cos(θ₁−θ₂) + i sin(θ₁−θ₂)]；zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)（棣莫弗）。

写答案时两件事最容易漏：辐角要化到主值范围内（超过 π 就减 2π），以及用代数形式回代一次（(a+bi)(c+di) 展开，模与辐角都能独立验）。下面两题数值均为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 三角形式的乘法与除法（两路互验）

设 z₁ = √3 + i，z₂ = 1 + i。
(1) 分别写出 z₁、z₂ 的模与辐角主值；(2) 用三角形式求 z₁z₂ 与 z₁/z₂ 的模、辐角主值；(3) 用代数形式展开验证 (2) 的两个结果（模与辐角各验一次）。

解析

(2) 乘法：|z₁z₂| = r₁r₂ = 2√2；辐角 = π/6 + π/4 = 5π/12（在 (−π, π] 内，无需化主值）。
除法：|z₁/z₂| = r₁/r₂ = 2/√2 = √2；辐角 = π/6 − π/4 = −π/12（负值已在主值范围内）。

(3) 代数回代：
z₁z₂ = (√3 + i)(1 + i) = √3 + √3 i + i + i² = (√3 − 1) + (√3 + 1)i。
模² = (√3−1)² + (√3+1)² = (4 − 2√3) + (4 + 2√3) = 8 → 模 = 2√2 ✓。
辐角正切 = (√3+1)/(√3−1) = (√3+1)²/2 = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3 = tan 75° = tan(5π/12) ✓（实部 √3−1 > 0、虚部 > 0，第一象限，角确为 5π/12 而非加 π）。
z₁/z₂ = (√3+i)/(1+i) = (√3+i)(1−i)/2 = [√3 − √3 i + i − i²]/2 = [(√3+1) + (1−√3)i]/2。
模² = [(√3+1)² + (1−√3)²]/4 = [(4+2√3)+(4−2√3)]/4 = 8/4 = 2 → 模 = √2 ✓。
辐角正切 = (1−√3)/(√3+1) = −(√3−1)/(√3+1) = −(2−√3) = −tan 15° = tan(−π/12) ✓（实部 > 0、虚部 < 0，第四象限）。
两条路径在模与辐角上全部闭合，说明「模相乘除、角相加减」用对了。

答案　(1) |z₁|=2、θ₁=π/6；|z₂|=√2、θ₂=π/4。(2) z₁z₂ 模 2√2、辐角 5π/12；z₁/z₂ 模 √2、辐角 −π/12。(3) 代数展开回代两路均闭合。

采分点　(1) 两个模与两个辐角各 1 分；(2) 积与商的模 2 分、辐角 2 分、主值范围说明 1 分；(3) 积的代数展开 1 分、模²=8 与 tan=2+√3 各 1 分、商的代数展开 1 分、模²=2 与 tan=−(2−√3) 各 1 分、象限判定 1 分。

易错点　把 z₁ 的辐角写成 π/3（把 √3+i 与 1+√3i 记混）；除法辐角写成 π/12（漏负号）；求 z₁/z₂ 时分子分母同乘 (1+i) 而非共轭 (1−i)；用 tan 反推辐角时不判象限，把 −π/12 写成 11π/12；辐角主值超过 π 不化回 (−π, π]。

题2

题2 棣莫弗定理与 z³ = 8i 的全部根

(1) 设 z = 1 + i，用棣莫弗定理求 z⁶ 与 z⁸，并用代数形式验证；(2) 求方程 z³ = 8i 的全部复数根（写成三角形式与代数形式），并逐个回代验证；(3) 说明为什么恰好是三个根、以及为什么不能只写一个。

解析

(2) 先把右端三角化：8i = 8(cos π/2 + i sin π/2)。设 z = r(cosθ + i sinθ)，则 z³ = r³(cos3θ + i sin3θ) = 8(cos π/2 + i sin π/2)，故 r³ = 8 → r = 2；3θ = π/2 + 2kπ → θ = π/6 + 2kπ/3（k = 0, 1, 2）。
k = 0：θ = π/6 → z₀ = 2(cos π/6 + i sin π/6) = √3 + i；
k = 1：θ = π/6 + 2π/3 = 5π/6 → z₁ = 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6) = −√3 + i；
k = 2：θ = π/6 + 4π/3 = 3π/2（或 −π/2）→ z₂ = 2(cos 3π/2 + i sin 3π/2) = −2i。
逐个回代：
(√3+i)² = 3 + 2√3 i − 1 = 2 + 2√3 i；再乘 (√3+i)：(2+2√3i)(√3+i) = 2√3 + 2i + 6i + 2√3 i² = 2√3 + 8i − 2√3 = 8i ✓。
(−√3+i)² = 3 − 2√3 i − 1 = 2 − 2√3 i；再乘 (−√3+i)：= −2√3 + 2i + 6i − 2√3 i² = −2√3 + 8i + 2√3 = 8i ✓。
(−2i)² = −4；再乘 (−2i) = 8i ✓。
三根全部成立。

(3) 由 r³ = 8 得模唯一为 2；而辐角方程 3θ = π/2 + 2kπ 中 k 取 0, 1, 2 给出三个在 [0, 2π) 内互不相同的角，k = 3 时 θ = π/6 + 2π 与 k = 0 只差 2π，对应同一个复数，故恰好三个不同的根。这与「n 次方程在复数域恰有 n 个根（计重数）」一致；只写一个（如 √3+i）会漏掉另外两个，属于不完整作答。几何图像：三根在复平面上位于半径 2 的圆上、彼此相差 120°，构成正三角形，可作快速自检。

答案　(1) z⁶ = −8i、z⁸ = 16，代数 (2i)³ 与 (2i)⁴ 验证通过；(2) 三根 √3+i、−√3+i、−2i，逐个回代得 8i；(3) 模唯一、辐角在 [0,2π) 有三个解，k≥3 与前面重复，故恰三根。

采分点　(1) 三角形式 1 分、z⁶ 与 z⁸ 各 1 分、代数 (1+i)²=2i 及两路验证 2 分；(2) 8i 三角化 1 分、r=2 与 θ 通式 2 分、三根各 1 分、逐个回代 3 分；(3) 模唯一 1 分、k=0,1,2 与 2π 周期说明 1 分、n 次方程根数 1 分、几何自检 1 分。

易错点　把 8i 的辐角写成 0 或 π；解 3θ=π/2+2kπ 时漏掉 +2kπ，只取 θ=π/6 得一根；k 取到 3、4 写出重复根却当成新根；把 z⁶ 的辐角 3π/2 化成主值 −π/2 后写成 +8i；代数验证 (2i)³ 时把 i³ 算成 +i；忘记辐角主值范围导致答案多解或漏解。

三、规律小结与对照表

复数三角形式就三句话：乘法模乘角加、除法模除角减、乘方交给棣莫弗；再加两条纪律——辐角化到约定的主值范围，以及每题都用代数形式回代一次（展开算模、用 b/a 算 tan 并判象限）。开方题记住 3θ = θ₀ + 2kπ 里的 +2kπ，k 取 0,1,2 正好三个根，漏了就少写两根。本题组复数与数值均为自编示意；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

• □ 先把 a+bi 化成 r(cosθ+i sinθ)，用象限定 θ，不只靠 arctan；
• □ 乘法角相加、除法角相减，结果化到主值范围；
• □ 用 (a+bi)(c+di) 展开独立验模，用虚部/实部比验 tan；
• □ 乘方写 zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)，nθ 超 2π 要化简；
• □ 开方一定写 3θ = θ₀ + 2kπ，k 取满 0~n−1；
• □ 每个根都回代一次，别只验第一个；
• □ 说明根数时回到「n 次方程恰有 n 个根」。