联招物理·气垫导轨与光电门验证动量守恒及恢复系数

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

气垫导轨把摩擦压到很小，光电门把速度测得很细，于是«验证动量守恒»看起来只是代入 m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′。但动量守恒是必要不充分的检验：随便编一组碰后速度，只要满足一个线性方程就能让动量「对上」，可它未必是真实碰撞。

所以完整流程要三步：换算速度（v = d/Δt，d 为挡光片宽度，Δt 为遮光时间，得的是挡光片通过门的平均速度，挡光片足够窄时才近似瞬时速度）→ 验动量 → 再验恢复系数与动能（e = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂)，弹性碰撞 e=1 且动能守恒，完全非弹性 e=0 且动能损失最大；e>1 或动能增加而无内能输入，数据必有问题）。下面数据为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 完全非弹性碰撞：速度换算、共同速度与动能损失

自编示意装置：水平气垫导轨上，滑块 A（m₁ = 0.300 kg）以 v₁ = 0.600 m/s 向右运动，滑块 B（m₂ = 0.200 kg）静止；两滑块上各装宽度 d = 1.00 cm 的挡光片。碰后两滑块由尼龙搭扣粘在一起，测得粘连体挡光时间 Δt′ = 27.8 ms。
(1) 由 Δt′ 求碰后共同速度 v′；(2) 用动量守恒求理论共同速度并比较；(3) 求碰撞中损失的动能；(4) 求碰前 A 通过光电门的遮光时间 Δt₁。

解析

(2) 碰前总动量 p = m₁v₁ + m₂v₂ = 0.300 × 0.600 + 0 = 0.180 kg·m/s。粘连后总质量 m₁+m₂ = 0.500 kg，故 v′_理 = 0.180/0.500 = 0.360 m/s。与(1)的实测 0.360 m/s 一致；若写成 Δt′ = d/v′ = 0.0100/0.360 = 0.0278 s，恰好回到题给读数，回代闭合。
（写成分式更清楚：v′ = m₁v₁/(m₁+m₂) = 0.18/0.50。）

(3) 碰前动能 E_k = ½m₁v₁² = ½ × 0.300 × 0.600² = 0.0540 J；碰后 E_k′ = ½(m₁+m₂)v′² = ½ × 0.500 × 0.360² = 0.0324 J。损失 ΔE = 0.0540 − 0.0324 = 0.0216 J。
另一路验算：完全非弹性碰撞的损失可直接写 ΔE = ½·[m₁m₂/(m₁+m₂)]·(v₁−v₂)² = ½ × (0.06/0.50) × 0.36 = ½ × 0.12 × 0.36 = 0.0216 J ✓，两路一致。损失占碰前动能 0.0216/0.0540 = 40.0%，正是 m₂/(m₁+m₂) = 0.2/0.5 = 0.4，可作为量纲与系数的快速核对。

(4) Δt₁ = d/v₁ = 0.0100/0.600 = 0.0167 s = 16.7 ms。注意(1)(4)都用同一个 d，挡光片宽度若记成 1.0 mm 会让两个速度同时差十倍——读数题先统一单位。

系统误差方向：气垫未调平、导轨有残余阻力会使碰后速度略偏小；挡光片有宽度、测的是平均速度，若滑块在通过门期间仍在减速，读数相对瞬时速度偏低；搭扣粘合瞬间的轻微外力会使动量检验出现小偏差。三处都只影响末位，不改变 0.360 这一结论。

答案　(1) v′ ≈ 0.360 m/s；(2) 理论 0.360 m/s，与实测一致；(3) 损失动能 0.0216 J（占 40.0%）；(4) Δt₁ = 16.7 ms。

采分点　写出 v = d/Δt 并统一单位 1 分；(1) 数值 1 分；碰前总动量 0.180 kg·m/s 2 分；(2) 理论值与实测比较、回代 Δt′ 2 分；(3) 前后动能与损失 3 分、约化质量第二路验算 1 分；(4) 16.7 ms 1 分；系统误差方向 1 分。

易错点　把 d = 1.00 cm 当成 1.00 mm 或忘换米；把 Δt′ = 27.8 ms 直接代入 v = d/Δt 时未化成秒；把碰后质量写成 0.300 kg；动能损失算成 0.0540 − 0.0324 时漏掉 ½；把「损失 40%」写成「剩 40%」。

题2

题2 数据自洽审查：动量对上了仍可能是假数据

另一组自编记录：仍取 m₁ = 0.300 kg、v₁ = 0.600 m/s、m₂ = 0.200 kg 静止，换用弹性碰撞头后，某次记录给出碰后 v₁′ = −0.120 m/s（A 反弹）、v₂′ = 1.080 m/s。
(1) 检验这组数据的动量是否守恒；(2) 计算恢复系数 e 与碰后总动能，判断数据是否可信并说明理由；(3) 若碰撞确为弹性（e = 1），求正确的 v₁′、v₂′ 并验证动量与动能双守恒。

解析

(2) 恢复系数：e = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂) = [1.080 − (−0.120)]/0.600 = 1.200/0.600 = 2.00。对无内能释放的普通碰撞，应有 0 ≤ e ≤ 1；e = 2 > 1 意味着分离速度大于接近速度，属于「超弹性」，与题设的被动碰撞头矛盾。
动能检验：E_k′ = ½ × 0.300 × 0.120² + ½ × 0.200 × 1.080² = 0.00216 + 0.11664 = 0.1188 J，而碰前仅 0.0540 J，凭空多出 0.0648 J（+120%），同样不可能。结论：动量虽对，数据不可信，最可能是 v₂′ 读数或小数点记错（如把 0.720 记成 1.080）或把两次实验的记录串了行。

(3) e = 1 的正确解：联立
0.300 v₁′ + 0.200 v₂′ = 0.180（动量）
v₂′ − v₁′ = 1 × 0.600 = 0.600（恢复系数定义，v₂ = 0）
由第二式 v₂′ = v₁′ + 0.600 代入第一式：0.500 v₁′ + 0.120 = 0.180 → v₁′ = 0.120 m/s，v₂′ = 0.720 m/s。
双验算：动量 0.300 × 0.120 + 0.200 × 0.720 = 0.036 + 0.144 = 0.180 ✓；动能 ½ × 0.300 × 0.0144 + ½ × 0.200 × 0.5184 = 0.00216 + 0.05184 = 0.0540 J ✓ 与碰前相等；e = (0.720 − 0.120)/0.600 = 1.00 ✓。
也可用弹性碰撞通式核对：v₁′ = [(m₁−m₂)/(m₁+m₂)]v₁ = (0.100/0.500) × 0.600 = 0.120；v₂′ = [2m₁/(m₁+m₂)]v₁ = (0.600/0.500) × 0.600 = 0.720，两路一致。注意 A 并不反弹（m₁ > m₂），题给「A 反弹」本身已是线索。

答案　(1) 动量 0.180 = 0.180，守恒；(2) e = 2.00 > 1、碰后动能 0.1188 J > 0.0540 J，数据不可信；(3) v₁′ = 0.120 m/s、v₂′ = 0.720 m/s，动量与动能双守恒。

采分点　(1) 动量计算 2 分；(2) e 公式与数值 2 分、0≤e≤1 判据 1 分、动能前后比较 2 分、给出「数据不可信」及可能原因 1 分；(3) 联立两式 2 分、两速度各 1 分、动量/动能/e 三路验算各 1 分、通式核对 1 分。

易错点　只验动量就下「守恒成立、数据可信」的结论；把 e 写成 (v₁′−v₂′)/(v₁−v₂) 得 −2 后取绝对值；忘记 v₂ = 0 而把分母写成 0.600 − 0 之外的量；把弹性碰撞公式里 2m₁/(m₁+m₂) 写成 m₁/(m₁+m₂)；算出 A 反弹却不与 m₁>m₂ 的物理图像对照。

三、规律小结与对照表

这道题真正要练的不是「会不会算动量」，而是算完之后还肯不肯再算一步。动量只是一个线性方程，一组编错的数据完全可以刚好满足它；再加上恢复系数与动能这两道非线性/二次的关卡，假数据就藏不住了。考场上把「v = d/Δt → Σmv → e 与 Σ½mv²」写成固定三步，既拿全采分点，也不会被「动量恰好对上」骗过去。装置、滑块质量、读数与记录均为自编示意，不代表真实测量；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

• □ 先把挡光片宽度换成米、遮光时间换成秒，再算 v = d/Δt；
• □ 动量守恒只算「必要」条件，不能据此单独判定数据可信；
• □ 必算 e = (v₂′−v₁′)/(v₁−v₂)，普通碰撞应 0 ≤ e ≤ 1；
• □ 必算碰后总动能，不得大于碰前（无内能释放时）；
• □ 完全非弹性用 v′ = m₁v₁/(m₁+m₂)，弹性用通式并联立验证；
• □ 用 m₁ 与 m₂ 的大小关系预判「轻者是否被弹回」，与结果对照；
• □ 末位写明系统误差方向（调平、阻力、挡光片宽度）。