联招数学·给值求角与角的范围讨论

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

这类题的固定动作是先平方、再验符号：由 (sinα + cosα)² = 1 + sin2α 可立刻得 sin2α，但平方把 α 的象限信息抹掉了，所以后面每一个带根号的量（如 cosα − sinα）都必须回原范围定符号。

两条工具要备好：① (cosα − sinα)² = 1 − sin2α，开方后靠「cosα 与 sinα 谁大」定正负；② 辅助角公式 sinα + cosα = √2 sin(α + π/4)，既用来判断给值是否可能（|值| ≤ √2），也用来把 α 的区间夹出来。三角形里还要加一条：A ∈ (0, π) 且 A + B + C = π。下面数据为自编示意，全部经数值回代验证。

二、逐题精讲

题1

题1 平方求值与符号判定（含数值回代）

自编：已知 sinα + cosα = 1/2，且 α ∈ (0, π)。

(1) 求 sin2α；(2) 判断 α 所在区间，并说明 sinα、cosα 的符号；(3) 求 cosα − sinα 的值；(4) 用 sin²α + cos²α = 1 回代验证。

解析

(2) 范围：α ∈ (0, π) ⇒ 2α ∈ (0, 2π)。由 sin2α = −3/4 < 0 得 2α ∈ (π, 2π)，故 α ∈ (π/2, π)，为钝角：sinα > 0、cosα < 0。
解的存在性校验（辅助角）：sinα + cosα = √2 sin(α + π/4) = 1/2 → sin(α + π/4) = 1/(2√2) ≈ 0.3536。α + π/4 ∈ (3π/4, 5π/4)，其中 sin > 0 的部分是 (3π/4, π)，故 α + π/4 ∈ (3π/4, π) → α ∈ (π/2, 3π/4)，比 (π/2, π) 更紧，且确有解（α ≈ 1.995 rad ≈ 114.3°）。这一验不可省：它排除了「条件不相容」的可能。

(3) (cosα − sinα)² = 1 − sin2α = 1 + 3/4 = 7/4，故 |cosα − sinα| = √7/2。
由 (2) 知 cosα < 0 < sinα，故 cosα − sinα < 0，取 cosα − sinα = −√7/2（≈ −1.3229）。开方后定符号这一步是本题最大采分点，只写 ±√7/2 不给分。

(4) 回代：联立 sinα + cosα = 1/2 与 cosα − sinα = −√7/2：
2sinα = 1/2 + √7/2 = (1+√7)/2 → sinα = (1+√7)/4 ≈ 0.9114；
2cosα = 1/2 − √7/2 = (1−√7)/2 → cosα = (1−√7)/4 ≈ −0.4114。
sin²α + cos²α = [(1+√7)² + (1−√7)²]/16 = [ (8+2√7) + (8−2√7) ]/16 = 16/16 = 1 ✓；
sin2α = 2sinαcosα = 2×[(1+√7)(1−√7)]/16 = 2×(1−7)/16 = −12/16 = −3/4 ✓。两式全对，结果成立。

答案　(1) sin2α=−3/4；(2) α∈(π/2,3π/4) 为钝角，sinα>0、cosα<0；(3) cosα−sinα=−√7/2；(4) 解得 sinα=(1+√7)/4、cosα=(1−√7)/4，平方和为 1、sin2α=−3/4，回代一致。

采分点　平方关系写出 1 分；sin2α 数值 1 分；2α 范围推导 2 分；辅助角验存在区间 2 分；sin/cos 符号 1 分；(cosα−sinα)² 式 1 分；定负号理由 2 分；结果 1 分；联立回代两式各 1 分。

易错点　平方后漏掉 sin²+cos²=1 得 sin2α=1/4；把 cosα−sinα 写成 +√7/2（不看钝角符号）；把 α 判成锐角；不做辅助角存在性校验，遇到条件不相容的题就发现不了；回代时把 (1±√7)² 展开错。

题2

题2 三角形内角约束与两解讨论

自编：(1) 在 △ABC 中，若 sinA + cosA = 1/2，判断三角形按角分类属于哪一类，并求 sin2A；(2) 若把条件改为 sinA + cosA = 7/5，求 sin2A 并讨论 A 有几个可能值、三角形形状能否唯一确定。

解析

(2) 两解情形：先查可行性：7/5 = 1.4 < √2 ≈ 1.414，给值在允许范围内 ✓。
平方：1 + sin2A = (7/5)² = 49/25 → sin2A = 24/25 = 0.96 > 0。
A ∈ (0, π) ⇒ 2A ∈ (0, 2π)，sin2A > 0 给 2A ∈ (0, π)，即 A ∈ (0, π/2)，A 为锐角。
但 sin2A = 24/25 在 (0, π) 内有两个解：2A = arcsin(24/25) ≈ 73.74° 或 2A = π − arcsin(24/25) ≈ 106.26°，故 A ≈ 36.87° 或 A ≈ 53.13°。
两者都要保留：它们都满足 sinA + cosA = 7/5（可数值回代：sin36.87°≈0.600、cos≈0.800，和 1.400；sin53.13°≈0.800、cos≈0.600，和同样 1.400 ✓），且都落在 (0, π/2) 内，题目没有给「A 是最大角/最小角」之类附加条件，无法舍去任何一个。
形状结论：A 是锐角，但 B、C 中完全可能有一个钝角（例如 A ≈ 36.87°、B = 100°、C ≈ 43.13° 满足内角和），也可能三个角都是锐角。故三角形形状不能唯一确定——只能确定「A 为锐角、sin2A = 24/25、A 有两个可能值」。把「两解」写成一解，或据此断言「锐角三角形」，是本题两处最高发的错。

答案　(1) A 为钝角（A∈(π/2,3π/4)），△ABC 为钝角三角形，sin2A=−3/4；(2) sin2A=24/25，A≈36.87° 或 53.13° 两解均成立，三角形形状不能唯一确定（A 锐角但 B 或 C 可为钝角）。

采分点　(1) sin2A 数值 1 分；A 钝角推导 2 分；钝角三角形结论 1 分；B+C 自洽说明 1 分；(2) 可行性 |值|≤√2 1 分；sin2A 数值 1 分；2A 范围 1 分；两解及数值各 1 分；两解均满足的回代 2 分；形状不唯一结论 2 分；举例说明 B 可为钝角 1 分。

易错点　(1) 把「sin2A<0」误判成 A 为锐角；漏写三角形内角和自洽；(2) 只取 arcsin 一个解；见 sin2A>0 就断言「锐角三角形」；忘记先查 |sinA+cosA| ≤ √2；把 7/5 误当成大于 √2 而判条件不相容。

三、规律小结与对照表

给值求角的可靠节奏是「平方 → 验符号 → 查存在 → 回代」：平方给出数值，象限给出符号，辅助角给出解到底存不存在、有几个，最后联立回代把 sinα、cosα 都解出来验一遍。尤其在三角形里，sin2A > 0 只能说明 A 是锐角，不能说明整个三角形是锐角三角形。本题数据均为自编示意，全部经数值回代验证。

四、自测清单

• 先写 (sinα+cosα)²=1+sin2α，别漏掉平方和=1
• 算出 sin2α 后立刻用 2α 的范围定 α 象限
• 凡开平方（cosα−sinα）必回原范围定正负
• 用 √2 sin(α+π/4) 检查给值是否 ≤√2、解落在哪段
• sin2A=k>0 在 (0,π) 内有两个 2A 解，别只取 arcsin
• 三角形题写内角和自洽；A 锐角 ≠ 锐角三角形
• 联立解出 sinα、cosα，代回 sin²+cos²=1 与 sin2α 双验