联招数学·递推数列的单调性、有界性与极限

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

处理递推式 aₙ₊₁ = f(aₙ)，有四步固定动作：算前几项看趋势 → 作差 aₙ₊₁ − aₙ 定单调 → 找不变量定上/下界 → 由单调有界定理设 lim aₙ = L，解 L = f(L) 得不动点。其中第二步与第三步是采分主力，第四步必须写「单调有界，故极限存在」这句依据，不能一上来就设 L。

另有一条函数视角很有用：若 f 在区间上可导且 |f′(x)| ≤ q < 1，则迭代是压缩的，收敛速度可估。这把数列题与导数题接了起来。下面递推式与数值为自编示意，全部经代数与数值回代验证。

二、逐题精讲

题1

题1 作差定单调、代数定下界（含回代）

自编递推：a₁ = 1，aₙ₊₁ = ½(aₙ + 2/aₙ)（n ≥ 1）。

(1) 计算 a₂、a₃、a₄（保留五位小数）；(2) 证明 n ≥ 2 时 aₙ ≥ √2；(3) 证明 {aₙ} 从第二项起单调递减。

解析

(2) 下界证明（配方法）：对任意 x > 0，
f(x) − √2 = ½(x + 2/x) − √2 = (x² + 2 − 2√2 x)/(2x) = (x − √2)²/(2x) ≥ 0。
故对一切 n ≥ 1 有 aₙ₊₁ ≥ √2，即 n ≥ 2 时 aₙ ≥ √2。等号仅当 aₙ = √2 时成立；本题 a₁ = 1 ≠ √2，故 n ≥ 2 实为严格大于。这一步也顺带说明 aₙ 恒正，后续作差可放心乘除。

(3) 单调递减：对 n ≥ 2，
aₙ₊₁ − aₙ = ½(aₙ + 2/aₙ) − aₙ = (2 − aₙ²)/(2aₙ)。
由 (2) 知 aₙ ≥ √2 → aₙ² ≥ 2 → 2 − aₙ² ≤ 0，且 aₙ > 0，故 aₙ₊₁ − aₙ ≤ 0，即从第二项起单调不增（严格递减）。
注意不能从第一项起说递减：a₂ − a₁ = 1.5 − 1 = 0.5 > 0，第一项到第二项是上升的。写清「n ≥ 2」这个起点是本题的隐藏采分点。

答案　(1) a₂=1.50000，a₃=1.41667，a₄=1.41422；(2) f(x)−√2=(x−√2)²/(2x)≥0，故 n≥2 时 aₙ≥√2；(3) aₙ₊₁−aₙ=(2−aₙ²)/(2aₙ)≤0，从第二项起递减。

采分点　三项数值各 1 分；配方法写出 (x−√2)²/(2x) 2 分；下界结论与「n≥2」限定 1 分；作差式 2 分；由 aₙ²≥2 判符号 1 分；指出 a₂>a₁、递减只从第二项起 1 分。

易错点　把 (x−√2)²/(2x) 展开时漏掉分母 2x 或符号写反；直接由 a₂>√2 归纳说「所以都≥√2」却不给代数证明；声称「数列单调递减」而不排除 a₁→a₂ 的上升；作差后忘记用 aₙ>0 判断分母符号。

题2

题2 极限、导数压缩性与误差递减（两路互验）

承接题1。(1) 说明极限存在并求 lim aₙ；(2) 用 f(x)=½(x+2/x) 的导数说明在 [√2, +∞) 上迭代为何收敛，并给出误差上界；(3) 计算 a₃ − √2 与 a₄ − √2，验证误差大致「平方级」缩小。

解析

(2) 导数视角：f′(x) = ½(1 − 2/x²)。当 x ≥ √2 时 2/x² ≤ 1，故 0 ≤ f′(x) < 1/2（x → +∞ 时趋于 1/2）。
由中值定理：|aₙ₊₁ − √2| = |f(aₙ) − f(√2)| = |f′(ξ)|·|aₙ − √2| ≤ ½|aₙ − √2|，即每迭代一步误差至少减半，收敛有保证。
更强的一路（平方级）：由题1 的恒等式 f(x) − √2 = (x−√2)²/(2x)，得 |aₙ₊₁ − √2| = (aₙ − √2)²/(2aₙ) ≤ (aₙ − √2)²/(2√2)，误差是上一步的平方量级，这就是牛顿迭代的二次收敛。两路都写，采分最稳。

(3) 数值验算（√2 ≈ 1.4142136）：
a₃ − √2 = 1.4166667 − 1.4142136 = 2.453×10⁻³；
a₄ − √2 = 1.4142157 − 1.4142136 ≈ 2.1×10⁻⁶。
比值 ≈ 8.6×10⁻⁴，而按平方级估计 (2.453×10⁻³)²/(2×1.4142) ≈ 2.13×10⁻⁶，与实算一致 ✓；「至少减半」的上界 ½×2.453×10⁻³ ≈ 1.23×10⁻³ 也成立（实际远小于它）✓。两路互验通过。

答案　(1) 单调有界故极限存在，L=√2；(2) f′(x)=½(1−2/x²)∈[0,1/2)，误差每步至少减半，且有平方级估计；(3) a₃−√2≈2.45×10⁻³，a₄−√2≈2.1×10⁻⁶，与平方级估计一致。

采分点　写出单调有界定理依据 2 分；解方程 L²=2 并舍负根 2 分；f′ 计算 1 分；0≤f′<1/2 的结论 1 分；中值定理误差估计 2 分；平方级恒等式 2 分；两项误差数值各 1 分；两路互验结论 1 分。

易错点　一上来就设 L 而不写「单调有界、极限存在」；解 L²=2 后不说明舍负根；把 f′ 写成 ½(1+2/x²) 导致「导数大于 1 不收敛」的反向结论；把误差关系写成线性却给不出系数；数值验算用 lg 与 ln 混算。

三、规律小结与对照表

递推数列题最容易被扣的分，不是算错，而是跳过「单调有界」直接设极限，以及忘记说明递减从哪一项开始。把作差式与配方式各写一行，再用 f′ 或恒等式给个误差估计，整道题就既有逻辑又有验算。本题递推式与数值均为自编示意，全部经代数与数值回代验证。

四、自测清单

• 先算前三项看趋势，别急着证
• 下界用配方法写出 (x−L)²/(…) ≥ 0 的形式，不靠归纳直觉
• 作差后明确写清单调区间从第几项起
• 设 lim 之前必须写「单调有界，故极限存在」
• 解不动点方程后按正项条件舍根
• 用 f′ 或误差恒等式给一个收敛速度估计，并代一项数值回验