题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
圆内接四边形给了两条白送的条件：对角互补（∠B + ∠D = 180°，∠A + ∠C = 180°）与互补角的正弦相等、余弦相反（sin B = sin D，cos B = −cos D）。所以只要画出一条对角线，原题就拆成两个共享这条边的三角形；第一个三角形算出的边，正好是第二个三角形的已知量。
解题链条固定四步：选公共对角线（一般选已知两边夹角的那一侧，好直接上余弦定理）→ 第一三角形求对角线 → 用对角互补把角搬到第二三角形 → 余弦定理求未知边、正弦面积公式分块求和。下面图形数据为自编示意，全部经代数回代验证。
二、逐题精讲
题1
题1 求公共对角线与对角
自编图形：四边形 ABCD 内接于圆，已知 AB = 2，BC = 3，CD = 4，∠ABC = 120°。连接 AC。
(1) 求 AC 的长；(2) 求 ∠ADC 的大小，并说明依据。
解析
(1) 在 △ABC 中，已知两边及其夹角，直接用余弦定理：AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos∠ABC = 2² + 3² − 2×2×3×cos120°。
cos120° = −1/2，故 AC² = 4 + 9 − 12×(−1/2) = 13 + 6 = 19，即 AC = √19。
符号检查：∠ABC 为钝角，对边 AC 应大于两边平方和的算术均值所对应的值；若无夹角项则 AC² = 13，加上 −2ab cos B 的正贡献 6 得 19，AC ≈ 4.36，比 AB、BC 都大，符合钝角对长边，结果合理。
(2) 因为 ABCD 内接于圆，对角互补：∠ABC + ∠ADC = 180°，故 ∠ADC = 60°。依据写全才有分：圆内接四边形对角互补（或同弧所对圆周角与另一对角的关系）。顺带记下 sin∠ADC = sin120° = √3/2、cos∠ADC = −cos120° = 1/2，题2 立刻要用。
答案 (1) AC = √19；(2) ∠ADC = 60°（圆内接四边形对角互补）。
采分点 写出余弦定理公式 2 分；代入 cos120° = −1/2 得 AC² = 19 得 2 分；AC = √19 带结论 1 分；对角互补写出依据 1 分；∠ADC = 60° 1 分；正弦/余弦互补关系 1 分。
易错点 把 cos120° 写成 +1/2，得 AC² = 7；漏掉负号导致 12×(−1/2) 算成 −6 再加错；忘记写「圆内接四边形对角互补」的依据，只写答案；把 ∠ADC 误判为 120°（那是 ∠ABC）。
题2
题2 求第四边与总面积（含两路互验）
承接题1。(1) 求 AD 的长；(2) 求四边形 ABCD 的面积 S，并用另一种分割方式验算。
解析
(1) 在 △ACD 中，已知 AC = √19、CD = 4、∠ADC = 60°，设 AD = x。由余弦定理（角 D 的对边是 AC）：AC² = AD² + CD² − 2·AD·CD·cos∠ADC → 19 = x² + 16 − 2·x·4·(1/2) = x² + 16 − 4x。
整理得 x² − 4x − 3 = 0，解得 x = (4 ± √28)/2 = 2 ± √7。边长为正，取 AD = 2 + √7（≈ 4.646）。
回代验算：AD² = (2+√7)² = 11 + 4√7；AD² + 16 − 4AD = 11 + 4√7 + 16 − 8 − 4√7 = 19 ✓。负根 2 − √7 < 0 舍去，理由要写。
(2) 分割一（沿 AC）：
S△ABC = ½·AB·BC·sin120° = ½×2×3×(√3/2) = 3√3/2。
S△ACD = ½·AD·CD·sin60° = ½×(2+√7)×4×(√3/2) = √3(2+√7)。
S = 3√3/2 + √3(2+√7) = √3(3/2 + 2 + √7) = √3(7/2 + √7) ≈ 10.64。
分割二（沿 BD，用于互验）：设 ∠BAD = α，则 ∠BCD = 180° − α（对角互补），故 sin∠BAD = sin∠BCD。于是
S = ½·AB·AD·sinα + ½·BC·CD·sin(180°−α) = ½ sinα·(AB·AD + BC·CD)。
由余弦定理两路求 BD²：
BD² = AB² + AD² − 2·AB·AD·cosα = 4 + (11+4√7) − 4(2+√7)cosα = 15 + 4√7 − 4(2+√7)cosα；
BD² = BC² + CD² − 2·BC·CD·cos(180°−α) = 9 + 16 + 24cosα = 25 + 24cosα。
两式相等解得 cosα，再取 sinα 代回上式，所得 S 与 √3(7/2+√7) 一致。这一步在考场上只需列出两式、说明「由同一条 BD 相等可解出 cosα，故面积唯一确定」即可拿到验算分，不必展开到底。
答案 (1) AD = 2 + √7；(2) S = √3(7/2 + √7) ≈ 10.64（沿 BD 分割，由对角互补使 sinα = sin∠BCD，两路求 BD² 解 cosα，结果一致）。
采分点 在 △ACD 中正确列出余弦定理（角 D 对边为 AC）2 分；化出 x²−4x−3=0 得 1 分；取正根并说明舍根理由 1 分；回代验算 1 分；两块面积公式各 1 分；合并结果 1 分；写出第二分割的等量关系 2 分。
易错点 列余弦定理时把「角 D 的对边」错当成 CD，写成 16 = x² + 19 − …；忘记舍去负根；面积漏乘 ½；把 sin60° 与 sin120° 视为不同（其实相等）；第二分割里漏用 cos(180°−α) = −cosα，导致两式解不出。
三、规律小结与对照表
| 关系 | 表达式 | 本题落点 |
|---|---|---|
| 对角互补 | ∠B + ∠D = 180°，∠A + ∠C = 180° | ∠ABC=120° ⇒ ∠ADC=60° |
| 正余弦互补 | sin(180°−θ)=sinθ；cos(180°−θ)=−cosθ | sin120°=sin60°=√3/2；cos60°=1/2 |
| 余弦定理 | c² = a² + b² − 2ab cos C | △ABC 求 AC²=19；△ACD 求 AD |
| 正弦面积 | S = ½ab sin C | 两块面积分别用 sin120° 与 sin60° |
| 公共边 | 对角线既是第一个三角形的第三边，又是第二个的已知边 | AC = √19 打通两三角形 |
| 两路互验 | 同一条 BD 由两个三角形分别表达，令两式相等 | 解出 cosα，验证面积唯一 |
圆内接四边形题的关键，是别把它当成一个四边形硬算，而是沿对角线拆成两个三角形，再用对角互补把角搬过去。互补角的正弦相等、余弦相反，这一句能同时省掉一次角度求解和一次符号讨论。本题图形、边长与角度均为自编示意数据，全部结果已代数回代验证。
四、自测清单
- 先画对角线，明确它同时属于哪两个三角形
- 写出「圆内接四边形对角互补」作为依据，别只写角度数值
- 钝角处核对 cos 符号：cos120° = −1/2，别写成 +1/2
- 列余弦定理前先确认「哪个角、对哪条边」，别把边角配错
- 解出边长后回代原方程，并说明负根为何舍去
- 分割求面积时每一块都带 ½，最后用另一条对角线做等量验算
