题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
由图象求解析式，三个参数各有各的入口，别混着猜：A 看最值（A = (最大值 − 最小值)/2，A > 0）、ω 看周期（ω = 2π/T，T 由相邻两个同相位点——如相邻两个最大值——的横坐标差得到）、φ 看特殊点（把最值点或零点代入，解出 φ 的通解再取 |φ| < π 或题给范围内的值）。
最容易丢分的是第三步：代入一个非最值点时，sin θ = 某个非 ±1 的值会给出两个 φ 候选。此时必须用该点处图象的升降趋势——也就是 f′(x) = Aω cos(ωx + φ) 的符号——舍去一个。下面图象信息为自编示意，全部经解析式回代验证。
二、逐题精讲
题1
题1 三步定参（含 φ 的两解取舍）
自编图象信息：函数 f(x) = A sin(ωx + φ)（A > 0，ω > 0，|φ| < π/2）的部分图象满足：最大值为 3、最小值为 −3；相邻两个最大值点横坐标分别为 π/6 与 7π/6；图象过点 (0, 3/2)，且在该点处单调递增。
(1) 求 A、ω；(2) 求 φ 并说明舍根理由；(3) 写出解析式并回代检验点 (0, 3/2)。
解析
(1) A = (3 − (−3))/2 = 3。相邻两个最大值点间距即周期 T = 7π/6 − π/6 = π，故 ω = 2π/T = 2π/π = 2。
(2) 此时 f(x) = 3 sin(2x + φ)。代入 (0, 3/2)：3 sin φ = 3/2 → sin φ = 1/2。
在 |φ| < π/2 内，候选为 φ = π/6；若不限制范围，另一解为 φ = 5π/6 + 2kπ（一般地 φ = π/6 + 2kπ 或 φ = 5π/6 + 2kπ）。
用升降趋势舍根：f′(x) = 3·2·cos(2x + φ) = 6 cos(2x + φ)。在 x = 0 处图象递增，需 f′(0) = 6 cos φ > 0。
φ = π/6 时 cos(π/6) = √3/2 > 0 ✓；φ = 5π/6 时 cos(5π/6) = −√3/2 < 0，对应递减 ✗，舍去。
（也可借最值点直接定：x = π/6 处取最大值 3，故 2·(π/6) + φ = π/2 + 2kπ → φ = π/6 + 2kπ，取 |φ| < π/2 得 φ = π/6，一步到位；两条路径互相印证。）
(3) f(x) = 3 sin(2x + π/6)。
回代：f(0) = 3 sin(π/6) = 3×(1/2) = 3/2 ✓；f′(0) = 6 cos(π/6) = 3√3 > 0，确实递增 ✓；f(π/6) = 3 sin(π/3 + π/6) = 3 sin(π/2) = 3，为最大值 ✓；f(7π/6) = 3 sin(7π/3 + π/6) = 3 sin(5π/2) = 3 ✓。四项全对，解析式成立。
答案 (1) A = 3，ω = 2；(2) φ = π/6（舍 φ = 5π/6，因 x=0 处需 f′>0 而 cos(5π/6)<0）；(3) f(x) = 3sin(2x + π/6)，四点回代均成立。
采分点 A 由最值求出 1 分；T 由相邻最值点求出 1 分；ω = 2π/T 1 分；代入 (0,3/2) 得 sinφ=1/2 1 分；写出两候选 1 分；用 f′(0)>0 舍根 2 分；解析式 1 分；回代检验 2 分。
易错点 把 A 写成 6（忘记除以 2）；把相邻最大值间距当成半周期 T/2；sinφ=1/2 只写一个解、不讨论取舍；用「φ 取锐角」这种直觉代替导数符号；忘记检验 f(7π/6) 是否也是最大值。
题2
题2 单调区间与指定点求值（两路互验）
承接题1。(1) 求 f(x) 的单调递增区间；(2) 求 f(π/12)，并用「相位叠加」与「和角公式」两路验算；(3) 若把题1 中「x=0 处递增」改为「递减」，φ 应取哪个值？
解析
(1) 令 −π/2 + 2kπ ≤ 2x + π/6 ≤ π/2 + 2kπ（k ∈ Z）：−π/2 − π/6 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/2 − π/6 + 2kπ → −2π/3 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/3 + 2kπ，
除以 2 得 −π/3 + kπ ≤ x ≤ π/6 + kπ（k ∈ Z）。注意周期是 π，所以区间也按 kπ 重复，不是 2kπ，这是常见错。
回代验区间：取 k = 0 得 [−π/3, π/6]，x = 0 在其中且 f′(0) > 0 ✓；端点 x = π/6 处相位 = π/2，正是最大值点，符合「增到最值」✓。
(2) 第一路（相位叠加）：f(π/12) = 3 sin(2·π/12 + π/6) = 3 sin(π/6 + π/6) = 3 sin(π/3) = 3√3/2 ≈ 2.598。
第二路（和角公式）：3 sin(2x + π/6) = 3[ sin2x cos(π/6) + cos2x sin(π/6) ]。x = π/12 时 2x = π/6，故 = 3[ (1/2)(√3/2) + (√3/2)(1/2) ] = 3[ √3/4 + √3/4 ] = 3·√3/2 = 3√3/2 ✓ 两路一致。且 3√3/2 < 3，符合最大值上界。
(3) sin φ = 1/2 不变，但需 f′(0) = 6 cos φ < 0，故取 φ = 5π/6（cos(5π/6) = −√3/2 < 0）。此时解析式为 f(x) = 3 sin(2x + 5π/6)，f(0) 仍为 3/2 但曲线下行；同时最值点会移到 x = −π/6 等位置，与题1 给的「最大值点在 π/6」不再相容——所以要写明：若只改升降条件、保留其它图象信息，则条件集自相矛盾；若只保留「过 (0,3/2) 且递减」，答案才是 φ = 5π/6。这一句能体现「改一个条件要看它和其余条件是否还相容」。
答案 (1) 增区间 [−π/3 + kπ, π/6 + kπ]，k∈Z；(2) f(π/12)=3√3/2，相位叠加与和角公式两路一致；(3) 仅保留「过(0,3/2)且递减」时 φ=5π/6，但与题1 的最值点条件不相容。
采分点 不等式列写 2 分；解得区间并注意 kπ 1 分；端点回代验 1 分；f(π/12) 数值 1 分；和角公式第二路 2 分；(3) 取值 1 分；指出条件冲突 2 分。
易错点 增区间写成 k·2π（忘了 ω=2 使周期减半）；和角公式把 cos(π/6) 与 sin(π/6) 代反；(3) 直接给 φ=5π/6 却不指出与「最值点在 π/6」矛盾；区间端点写成开区间（最值点处导数为 0，区间仍可取闭）。
三、规律小结与对照表
| 参数 | 入口 | 本题结果 | 验证方式 |
|---|---|---|---|
| A | A=(最大值−最小值)/2 | 3 | f(π/6)=3 为最大值 |
| T | 相邻同相位点（两最大值）横坐标差 | π | f(7π/6)−f(π/6) 同相 |
| ω | ω = 2π/T | 2 | 代入周期定义回算 |
| φ | 特殊点代入 + 升降趋势定解 | π/6 | f(0)=3/2 且 f′(0)=3√3>0 |
| 舍根 | f′(x)=Aω cos(ωx+φ) 的符号 | 舍 5π/6 | cos(5π/6)<0 与递增矛盾 |
| 单调区间 | 解 −π/2+2kπ ≤ ωx+φ ≤ π/2+2kπ | [−π/3+kπ, π/6+kπ] | 端点相位恰为 ±π/2 |
图象求解析式的稳妥节奏是「A 看最值、ω 看周期、φ 看点＋看升降」，最后一定要把求出的式子代回所有已知点验一遍。尤其是 φ 的两解取舍，别凭「取个锐角顺眼」——用 f′ 的符号，一步就能定死。本题图象信息与数据均为自编示意，全部经解析式回代验证。
四、自测清单
- A 用最大值与最小值之差的一半，别直接用最大值
- 周期取相邻两个「同相位点」的距离，不是相邻零点
- φ 由特殊点代入后，若 sin 值非 ±1 必有两组候选，必须讨论
- 取舍用该点处 f′ 的符号（递增 cos>0、递减 cos<0），不靠直觉
- 求单调区间后检查重复周期是 kπ 还是 2kπ（由 ω 决定）
- 把解析式代回全部已知点，含最值点、零点与升降点
