联招物理·电容器充放电：I–t 面积法测电容与时间常数

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

电容放电时电流不是恒定的，所以「Q = It」不能直接用；但电流对时间的积分（也就是 I–t 曲线下的面积）恰好等于放出的总电荷量。这是本实验的第一根主线：Q = ∫I dt = C U₀。

第二根主线是把指数式拉直：放电电流 I(t) = (U₀/R) e^−t/τ，其中 τ = RC。两边取对数得 ln I = ln(U₀/R) − t/τ，作 ln I–t 图应是直线，斜率 = −1/τ。半衰期 t½ = τ ln2 ≈ 0.693τ，也可由图上电流降到一半的位置直接读出。下面电阻、电容、电压与读数均为自编示意数据，全部经解析式回代验证。

二、逐题精讲

题1

题1 用 I–t 面积求电容（含解析验算）

自编示意实验：电容 C（待求）经电阻 R = 10.0 kΩ 放电，初始电压 U₀ = 6.00 V。每隔 2.0 s 记录电流如下：

(1) 说明为什么 I–t 图下的面积等于放出的电荷量；(2) 用梯形法估算 0–10 s 内的电荷量，并结合「10 s 后剩余电荷」的解析补正求总电荷量 Q；(3) 由 Q = C U₀ 求 C。

解析

(2) 梯形法（Δt = 2.0 s，电流换成 A）：
Q₀₋₁₀ ≈ Δt·[ (I₀+I₅)/2 + I₁ + I₂ + I₃ + I₄ ]
= 2.0×[ (0.600+0.0715)/2 + 0.392 + 0.256 + 0.167 + 0.109 ] mA·s
= 2.0×[ 0.33575 + 0.924 ] = 2.0×1.25975 = 2.5195 mA·s = 2.52×10⁻³ C。

解析补正：由题2 将求得 τ = 4.70 s，I(t) = I₀ e^−t/τ，10 s 之后剩余电荷 Q_余 = ∫₁₀^∞ I₀ e^−t/τ dt = I₀ τ e^−10/τ。
代入 I₀ = 0.600 mA、τ = 4.70 s：I₀τ = 0.600×10⁻³×4.70 = 2.82×10⁻³ C，e^−10/4.70 = e^−2.128 ≈ 0.1191，故 Q_余 ≈ 2.82×10⁻³×0.1191 ≈ 0.336×10⁻³ C。
总量 Q = 2.52×10⁻³ + 0.336×10⁻³ ≈ 2.86×10⁻³ C；与解析值 Q = I₀τ = 2.82×10⁻³ C 相差约 1.4%（梯形法对凸曲线的系统高估 + 截断读数误差），在实验误差内一致。答题时写出「梯形法会略高估、需补尾部或直接用 I₀τ」才是完整采分点。

(3) C = Q/U₀。用解析值：C = 2.82×10⁻³ / 6.00 = 4.70×10⁻⁴ F = 470 μF；用梯形补正值则为 ≈ 4.77×10⁻⁴ F，约 477 μF，两者相差 1.4%。以解析式与 τ 反推的 470 μF 为准（本组数据正是按 C = 470 μF 自编生成的）。

答案　(1) q=∫I dt，面积为电荷量；(2) 梯形法 0–10 s 得 2.52×10⁻³ C，补尾部约 0.336×10⁻³ C，总 Q ≈ 2.86×10⁻³ C（解析值 2.82×10⁻³ C）；(3) C ≈ 470 μF。

采分点　写出 q=∫I dt 与面积含义 2 分；梯形法公式与代值 2 分；0–10 s 数值 1 分；指出需补 10 s 后尾部 1 分；尾部解析式与数值 2 分；Q=CU₀ 得 C 1 分；说明梯形法高估与两值差异 1 分；单位换算 1 分。

易错点　直接用 Q = I₀×10 s 当总电荷（电流不是恒定的）；梯形法漏掉首末项取半；忘记补 10 s 之后的尾部就把 2.52 mC 当总电荷；mA·s 换 C 时漏 10⁻³；把 U₀ 当成放电末电压；不说明梯形法对凸曲线会高估。

题2

题2 由 ln I–t 直线求 τ 并做半衰期校验

(1) 由 I(t) = (U₀/R)e^−t/τ 推出 ln I 与 t 的线性关系，并说明斜率对应什么；(2) 利用表中 t = 0 与 t = 4.0 s 两点求 τ，再由 τ = RC 反求 C；(3) 求半衰期 t½，并从表中读出电流降到 I₀/2 的时刻加以印证；(4) 说明电解电容漏电、电阻实际值偏差各使 C 的测量值偏大还是偏小。

解析

(2) I₀ = 0.600 mA，I(4.0) = 0.256 mA。
k = (ln0.256 − ln0.600)/4.0 = ln(0.256/0.600)/4.0 = ln(0.4267)/4.0 ≈ (−0.8511)/4.0 = −0.2128 s⁻¹。
τ = −1/k = 1/0.2128 ≈ 4.70 s。
由 τ = RC 得 C = τ/R = 4.70/(10.0×10³) = 4.70×10⁻⁴ F = 470 μF ✓ 与题1 解析值一致。

另一路（更省事）：注意到 τ = 4.70 s 时 e⁻¹ ≈ 0.368，I 应降到 0.600×0.368 = 0.221 mA；表中 4.0 s 处 0.256 mA、6.0 s 处 0.167 mA， interpolated 恰在 4.7 s 附近，与计算自洽。

(3) t½ = τ ln2 ≈ 4.70×0.693 = 3.26 s。此时 I = I₀/2 = 0.300 mA；表中 2.0 s 为 0.392 mA、4.0 s 为 0.256 mA，0.300 mA 落在两者之间且靠近 3.3 s，与 3.26 s 吻合 ✓。解析回代：0.600·e^−3.26/4.70 = 0.600·e^−0.693 = 0.300 mA ✓。

(4) 误差方向分两句：
电解电容漏电：相当于在 C 两端并联一个漏电阻，放电比理想 RC 更快，实测 τ 偏小；若仍按 C = τ/R 计算，则 C 测偏小（同时 I–t 尾部不再严格指数，ln I–t 会向下弯）。
电阻标称值与实际值偏差：若实际 R 大于标称值（仍用标称值代入 C = τ/R，分母偏小），则 C 测偏大；实际 R 偏小时反之，C 测偏小。要写「按哪个值代入」才完整，不能只说「有误差」。另可补充：电压表内阻若并在电容两端也会分流，效果与漏电同向（τ 偏小）。

答案　(1) ln I = ln I₀ − t/τ，斜率 k=−1/τ；(2) τ ≈ 4.70 s，C ≈ 470 μF；(3) t½ = τln2 ≈ 3.26 s，表中 0.300 mA 落在 2–4 s 间且吻合；(4) 漏电使 C 测偏小；R 实际偏大（仍用标称值）使 C 测偏大，反之偏小。

采分点　对数线性化 2 分；斜率与 τ 关系 1 分；两点求 k 1 分；τ 数值 1 分；C 数值与单位 1 分；t½ 公式与数值 1 分；表中印证 1 分；漏电误差方向＋理由 2 分；R 偏差的双向说明 2 分。

易错点　把斜率直接当成 τ（应为 −1/τ）；用常用对数 lg 却仍按 ln 的系数算；t½ 写成 τ/ln2 或 2τ；误差题只答「偏大」不说明「用标称值代入」；把漏电说成使放电变慢（实际变快）。

三、规律小结与对照表

这一实验的两条路其实是同一件事的两种读法：看面积得 Q（积分视角），看斜率得 τ（对数视角），最后都汇到 C = Q/U₀ = τ/R。考场上用这两式互相验算，比反复读图更可靠；梯形法别忘了补上截断之后的尾部。本文电阻、电容、电压与读数均为自编示意数据，全部经解析式回代验证，不代表真实器件参数。

四、自测清单

• 先写 I=dq/dt，明确不能用 Q=It（电流非恒定）
• 梯形法首末项取半，并补上截断时间之后的指数尾部
• 取对数用 ln（自然对数），斜率是 −1/τ 而不是 −τ
• 由 τ、R 求 C 时把 kΩ、μF 统一换成 Ω、F
• 用 Q=I₀τ=CU₀ 与 C=τ/R 两路互验，数值应一致
• 误差题写清「哪个量变了、仍按哪个值代入」，方向才不反