联招数学·用导数证明数列不等式：构造、代入与累加放缩

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

这类题的结构几乎固定，认清了就不难：① 用导数证一个对一切 x>0 成立的函数不等式；② 令 x 取 1/k（或 1/k² 等），把函数不等式变成关于 k 的项级不等式；③ 对 k = 1 到 N 累加，让右边裂项相消或凑成对数 telescoping；④ 取一个小 N 验算方向。

两条基础不等式先记牢（x > 0）：ln(1+x) < x 与 −ln(1−x) > x（0 < x < 1）。二者都是「对数曲线在切线下方／上方」的体现，都能用一个构造函数加一次求导证出来，不需要背结论。

二、逐题精讲

题1

题1 下界：ln(N+1) < 1 + 1/2 + … + 1/N

(1) 用导数证明：对 x > 0，有 ln(1+x) < x；(2) 由此证明对任意正整数 N，ln(N+1) < Σ_k=1^N 1/k；(3) 取 N = 3 验算。

解析

φ′(x) = 1 − 1/(1+x) = x/(1+x)。

当 x > 0 时 φ′(x) > 0，故 φ 在 (0, +∞) 上严格递增；又 φ(0) = 0 − ln1 = 0，所以 x > 0 时 φ(x) > φ(0) = 0，即 x − ln(1+x) > 0，得 ln(1+x) < x（严格小于，x = 0 时取等）。

(2) 令 x = 1/k（k 为正整数，满足 x > 0），代入得

ln(1 + 1/k) = ln[(k+1)/k] = ln(k+1) − ln k < 1/k。

对 k = 1, 2, …, N 累加，左边是对数裂项：

Σ_k=1^N [ln(k+1) − ln k] = ln(N+1) − ln1 = ln(N+1)。

故 ln(N+1) < Σ_k=1^N 1/k，即 ln(N+1) < 1 + 1/2 + … + 1/N。

(3) 取 N = 3 验算：左 ln4 = 2ln2 ≈ 1.3863；右 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6 ≈ 1.8333。1.3863 < 1.8333 ✓ 方向正确。再看单项：k = 1 时 ln2 ≈ 0.6931 < 1 ✓；k = 2 时 ln(3/2) ≈ 0.4055 < 0.5 ✓；k = 3 时 ln(4/3) ≈ 0.2877 < 0.3333 ✓，三项累加与总结论一致。

答案　(1) φ(x)=x−ln(1+x)，φ′=x/(1+x)>0、φ(0)=0 ⇒ ln(1+x)<x；(2) 令 x=1/k 得 ln(k+1)−ln k<1/k，累加裂项得 ln(N+1)<Σ1/k；(3) N=3：1.3863<1.8333 ✓。

采分点　构造函数 1 分、求导 2 分、由 φ(0)=0 与单调性得结论 2 分；代入 x=1/k 并写成 ln(k+1)−ln k 2 分；累加裂项 2 分；特例验算 1 分。

易错点　构造 φ(x)=ln(1+x)−x 后把单调性结论说反；忘记用 φ(0)=0 定符号，直接由 φ′>0 断言 φ>0；把 ln(1+1/k) 写成 ln(1/k)；累加时不做对数裂项，写成 Σln(k+1) − Σln k 却不相消；忽略 x>0 的定义域。

题2

题2 上界与双边估计

(1) 用导数证明：对 0 < t < 1，有 −ln(1−t) > t；(2) 由此证明对 N ≥ 2，Σ_k=2^N 1/k < ln N，从而 Σ_k=1^N 1/k < 1 + ln N；(3) 合并题1、题2 写出双边估计，并取 N = 3 验算。

解析

ψ′(t) = 1/(1−t) − 1 = t/(1−t) > 0，故 ψ 在 (0,1) 上严格递增；ψ(0) = 0，所以 t > 0 时 ψ(t) > 0，即 −ln(1−t) > t。

(2) 对 k ≥ 2 取 t = 1/k ∈ (0,1)，代入得 −ln(1 − 1/k) = −ln[(k−1)/k] = ln[k/(k−1)] = ln k − ln(k−1) > 1/k，即 1/k < ln k − ln(k−1)。

对 k = 2, 3, …, N 累加，右边裂项：

Σ_k=2^N [ln k − ln(k−1)] = ln N − ln1 = ln N。

故 Σ_k=2^N 1/k < ln N；两边同加首项 1（k = 1 项不参与该放缩），得 Σ_k=1^N 1/k < 1 + ln N（N ≥ 2）。

(3) 双边估计：合并题1 与题2，对 N ≥ 2 有

ln(N+1) < 1 + 1/2 + … + 1/N < 1 + ln N。

取 N = 3 验算：左 ln4 ≈ 1.3863，中 11/6 ≈ 1.8333，右 1 + ln3 ≈ 1 + 1.0986 = 2.0986，满足 1.3863 < 1.8333 < 2.0986 ✓。单项验：k = 2 时 1/2 = 0.5 < ln2 ≈ 0.6931 ✓；k = 3 时 1/3 ≈ 0.3333 < ln(3/2) ≈ 0.4055 ✓。

方法小结：两条放缩都来自「先证函数不等式 → 代入 1/k → 累加让对数裂项」，方向相反是因为一个用 ln(1+x) < x、另一个用 −ln(1−x) > x。注意题2 的放缩不能用于 k = 1（t = 1 使 ln(1−t) 无定义），必须把首项 1 单独留出来，这是最常漏的一步。

答案　(1) ψ(t)=−ln(1−t)−t，ψ′=t/(1−t)>0、ψ(0)=0 ⇒ −ln(1−t)>t；(2) 令 t=1/k 得 1/k<ln k−ln(k−1)，k=2..N 累加裂项得 ln N，故 H_N<1+ln N；(3) ln(N+1)<H_N<1+ln N，N=3 验 1.3863<1.8333<2.0986 ✓。

采分点　构造函数与求导 2 分；代入 t=1/k 并写出 ln k−ln(k−1) 2 分；累加裂项 2 分；首项单独留出的说明 2 分；双边估计 1 分；特例验算 1 分。

易错点　把 ψ 构造反了导致方向写反；对 k=1 也代入 t=1/k（ln0 无定义）；累加后忘记补首项 1，写成 H_N<ln N；把 ln k − ln(k−1) 写成 ln(k−1) − ln k（符号反）；合并时把上下界位置写颠倒。

三、规律小结与对照表

这类压轴题看着唬人，其实只有三下：构造函数求导、代 x=1/k、累加让对数裂项。两个最容易翻车的地方也固定——别忘基准点 φ(0)=0 定符号，别把上界放缩用到 k=1。本题条件与数值均为原创自编仿真题，两条函数不等式、累加结果与 N=3 验算已逐项回代互验。

四、自测清单

• 先写要证的函数不等式并构造函数，求导后一定要用零点值定符号
• 代入 x=1/k 后把对数写成 ln(k+1)−ln k 或 ln k−ln(k−1) 的裂项形
• 上界放缩注明 k≥2，首项 1 单独留出
• 累加范围写清（k=1..N 还是 k=2..N），末尾不要漏项
• 合并双边估计后取 N=3 之类的小值验方向
• 检查所有对数的真数为正，别出现 ln0 或 ln 负数