联招数学·二阶导符号、凹凸性与拐点

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

先把几何意义钉住：f″(x) > 0 表示 f′ 递增，曲线下凸（谷形、切线在曲线下方）；f″(x) < 0 表示 f′ 递减，曲线上凸（峰形、切线在曲线上方）。不同教材对「凹／凸」这两个字的指向约定不同，答题时以 f″ 符号加几何描述为准，最好同时写「下凸/上凸」，避免术语歧义。

拐点的判据是「f″ 在该点两侧变号，且函数在该点连续」，不是「f″=0」。另外二阶导还能判极值：若 f′(x₀)=0 且 f″(x₀)<0 为极大、f″(x₀)>0 为极小；f″(x₀)=0 时判不了，须回到一阶导符号。

二、逐题精讲

题1

题1 f(x) = x³ − 3x 的凹凸区间与拐点

(1) 求 f′(x) 与 f″(x)，指出曲线的上凸、下凸区间与拐点；(2) 求 f(x) 的极值点，并用二阶导判别极大、极小；(3) 验证 f′ 与 f″ 的结论是否一致。

解析

当 x < 0 时 f″ < 0，曲线上凸（峰形，区间 (−∞, 0)）；当 x > 0 时 f″ > 0，曲线下凸（谷形，区间 (0, +∞)）。x = 0 处 f″ 由负变正、且 f 连续，故拐点为 (0, f(0)) = (0, 0)。注意拐点要写成点的坐标，只写「x = 0」不完整。

(2) 令 f′ = 0 得 x = −1 或 x = 1。判别：f″(−1) = −6 < 0 → x = −1 为极大值点，极大值 f(−1) = −1 + 3 = 2；f″(1) = 6 > 0 → x = 1 为极小值点，极小值 f(1) = 1 − 3 = −2。

(3) 一致性验算。由 f′ = 3(x−1)(x+1)：x < −1 时 f′ > 0（增），−1 < x < 1 时 f′ < 0（减），x > 1 时 f′ > 0（增），故 −1 处左增右减为极大、1 处左减右增为极小 ✓ 与二阶导判别一致。再看弯曲方向：在极大点 x = −1 处 f″ < 0（上凸，符合「峰」），在极小点 x = 1 处 f″ > 0（下凸，符合「谷」）✓；在两点之间的 x = 0 处弯曲方向翻转，正是拐点 ✓。

答案　(1) 上凸 (−∞,0)、下凸 (0,+∞)，拐点 (0,0)；(2) 极大值点 x=−1（f=2）、极小值点 x=1（f=−2）；(3) 一阶导符号与二阶导判别一致。

采分点　f′、f″ 各 1 分；两个区间各 1 分；拐点（含变号判断与点坐标）2 分；两个极值点与极值各 1 分；一致性验算 2 分。

易错点　只写「f″=0 ⇒ x=0 是拐点」，不检验两侧变号；把拐点写成 x=0 而非 (0,0)；把上凸/下凸方向写反（只背「凹凸」二字而不看 f″ 符号）；把 f″(x₀)=0 时的极值判别也硬套；极值只写 x 值不写极值。

题2

题2 两个拐点与「f″=0 非充分」

(1) 求 g(x) = x⁴ − 2x² 的上凸、下凸区间与全部拐点；(2) 举反例说明「f″(x₀)=0」不是拐点的充分条件，并写出正确的判定步骤。

解析

当 |x| > √3/3 时 3x² − 1 > 0，g″ > 0 → 下凸，区间 (−∞, −√3/3) 与 (√3/3, +∞)；当 |x| < √3/3 时 g″ < 0 → 上凸，区间 (−√3/3, √3/3)。两个零点两侧 g″ 均变号（− 变 +、+ 变 −），故都是拐点。

算纵坐标：在 x² = 1/3 处，x⁴ = 1/9，2x² = 2/3 = 6/9，故 g = 1/9 − 6/9 = −5/9。两个拐点为 (−√3/3, −5/9) 与 (√3/3, −5/9)。数值验算：√3/3 ≈ 0.5774，0.5774⁴ ≈ 0.1111，2×0.5774² ≈ 0.6667，差 ≈ −0.5556 = −5/9 ✓。

与题1 对照：f(x)=x³−3x 的 f″=6x 只有一个零点，对应一个拐点；g 的 g″ 是二次式、有两个零点，对应两个拐点。拐点个数由 f″ 的变号零点个数决定，不是固定一个。

(2) 反例：取 h(x) = x⁴。h′ = 4x³，h″ = 12x²，故 h″(0) = 0；但当 x < 0 与 x > 0 时均有 h″ > 0，两侧同为下凸、不变号，所以 (0,0) 不是拐点（它是极小值点）。这证明 f″(x₀)=0 只是必要条件（在 f″ 存在且连续时），不是充分条件。

正确步骤：① 求 f″；② 解 f″=0 并找出 f″ 不存在的点；③ 逐点列表检查左右两侧 f″ 是否变号；④ 同时确认函数在该点连续（有定义）；⑤ 变号且连续者才是拐点，写成点坐标。

答案　(1) 下凸 (−∞,−√3/3)∪(√3/3,+∞)，上凸 (−√3/3,√3/3)；拐点 (±√3/3, −5/9)。(2) h(x)=x⁴ 在 x=0 处 h″=0 但两侧同号，非拐点；须检验变号与连续性。

采分点　g′、g″ 各 1 分；解出 ±√3/3 1 分；两个区间各 1 分；拐点纵坐标 −5/9 与两点坐标 2 分；反例 2 分；五步判定流程 2 分。

易错点　把 g 只写一个拐点（漏掉 ± 两个根）；把 −5/9 算成 −1/9 或 −2/3；忘记检验变号直接把两个零点都叫拐点（本题恰好都变号，但步骤不能省）；用 h(x)=x³ 当反例（x³ 在 0 处确实是拐点，反例无效）；把拐点写成 x=±√3/3。

三、规律小结与对照表

这一讲只需记住一句：拐点看的是 f″ 变号，不是 f″ 等于零。把 h(x)=x⁴ 这个反例留在草稿本上，遇到「f″=0 所以是拐点」的选项就能立刻排掉。本题函数、区间与坐标均为原创自编仿真题，f′/f″、极值与 −5/9 已逐项回代互验。

四、自测清单

• 先求 f″，解 f″=0 并单独列出 f″ 不存在的点
• 逐点列表看左右两侧 f″ 符号，变号才算拐点
• 同时确认该点函数连续、有定义
• 拐点写成 (x, f(x)) 点坐标，不只写横坐标
• 极值二阶判别只在 f′(x₀)=0 时使用；f″=0 时回到一阶导符号
• 术语写「下凸/上凸」并附 f″ 符号，避免凹/凸命名歧义