联招物理·实验题：电源输出功率与效率的最大值条件

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

先把三个功率分清楚：P_总 = EI（电源提供的全部功率）、P_出 = UI = I²R（外电路得到的）、P_内 = I²r（内阻发热）。效率定义为 η = P_出/P_总 = U/E = R/(R+r)。

关键结论一行就够：P_出 在 R = r 时最大，但此时 η = 50%；R 继续增大时 η 升高，P_出 反而下降。所以「功率最大」与「最省电」不是一回事，答题时先看清问的是哪一个。下面用自编数据把这条结论算成具体数字。

二、逐题精讲

题1

题1 最大输出功率与此时效率

自编示意数据：电源电动势 E = 1.50 V，内阻 r = 0.50 Ω，外电路为可调纯电阻 R。求：(1) R 取何值时电源输出功率最大，最大值是多少；(2) 此时的路端电压、电流与电源效率；(3) 说明为什么 η 不是 100%。

解析

P_出 = I²R = E²R/(R + r)²。

因 (R + r)² = R² + 2Rr + r² = (R − r)² + 4Rr ≥ 4Rr，故 P_出 = E²R/(R+r)² ≤ E²R/(4Rr) = E²/(4r)，取等条件为 R = r。

代入 E = 1.50 V、r = 0.50 Ω：R = 0.50 Ω，P_出,max = (1.50)²/(4 × 0.50) = 2.25/2.00 = 1.125 W。

(2) 此时 I = E/(R + r) = 1.50/1.00 = 1.50 A；路端电压 U = IR = 1.50 × 0.50 = 0.75 V（也可用 U = E − Ir = 1.50 − 0.75 = 0.75 V 互验 ✓）。

η = P_出/P_总 = U/E = 0.75/1.50 = 50.0%，等价于 η = R/(R+r) = 0.50/1.00 = 50.0%。

数值互验：P_出 = I²R = (1.50)² × 0.50 = 2.25 × 0.50 = 1.125 W ✓；P_总 = EI = 1.50 × 1.50 = 2.25 W；P_内 = I²r = 2.25 × 0.50 = 1.125 W；三者满足 P_总 = P_出 + P_内 ✓。

(3) R = r 时内阻与外阻分得同样的电压、消耗同样的功率，P_内 = P_出，有一半能量耗在电源内部，故 η 恰为 50%。要使 η 接近 100%，须令 R ≫ r，但那时 I 很小、P_出 也趋近于 0——这正是「效率」与「输出功率」不可兼得的原因。

答案　(1) R = 0.50 Ω 时最大，P出,max = 1.125 W；(2) I = 1.50 A，U = 0.75 V，η = 50.0%；(3) 内阻与外阻功率相等，一半能量耗于内阻。

采分点　写出 P出 = E²R/(R+r)² 2 分；用 (R−r)²≥0 推出最大值条件 2 分；数值 1 分；I、U 各 1 分；η 两种算法之一 1 分；能量分配说明 2 分。

易错点　把最大功率条件写成 R = 2r 或 R = r/2；把 P出 写成 E²/(R+r)（漏 R）；把 η 写成 r/R；算出 η = 50% 后仍答「效率最高」；漏写单位 W、A、V。

题2

题2 U–I 数据反推与「省电」取舍

用该电源做实验，测得两组数据：I₁ = 0.20 A 时 U₁ = 1.40 V；I₂ = 0.60 A 时 U₂ = 1.20 V。
(1) 由 U = E − Ir 求 E 与 r；(2) 当 R = 2.0 Ω 时，求 I、P_出、η，并与题1 的 R = 0.50 Ω 比较：哪种接法「更省电」，哪种接法「输出功率更大」？

解析

(2) R = 2.0 Ω：I = E/(R+r) = 1.50/2.50 = 0.600 A；U = IR = 0.600 × 2.0 = 1.20 V（与实验第二组数据吻合 ✓）；P_出 = I²R = 0.360 × 2.0 = 0.720 W（或 UI = 1.20 × 0.600 = 0.720 W 互验）；η = R/(R+r) = 2.0/2.5 = 80.0%。

比较：R = 2.0 Ω 时 η = 80% > 50%，更省电（内耗占比小）；但 P_出 = 0.720 W < 1.125 W，输出功率更小。结论要分两问答，不能合并成一句「2.0 Ω 更好」：若目标是用电器获得最大功率，选 R = r；若目标是减少电源内部损耗、提高能量利用率，选 R ≫ r。

答案　(1) E = 1.50 V，r = 0.50 Ω；(2) R = 2.0 Ω 时 I = 0.600 A，P出 = 0.720 W，η = 80.0%；该接法更省电但输出功率更小，R = 0.50 Ω 时输出功率最大。

采分点　联立方程求 E、r 2 分（含回代验算 1 分）；R = 2.0 Ω 三项数值各 1 分；两问分别作答 2 分；效率与功率不可兼得的说明 1 分。

易错点　两式相减时把 r 算成 0.20/0.40 = 0.50 Ω 却写错符号（r 应为正的斜率绝对值）；把 η 算成 U/E = 1.20/1.50 = 80% 后忘记与题1 对照；把「更省电」与「功率更大」混为一谈，答成单一结论；漏写单位。

三、规律小结与对照表

把两条曲线放在一起记就不容易混：P_出 随 R 先增后减、在 R = r 处见顶；η 随 R 单调上升、趋近 100% 却永远到不了。题目问「最大功率」还是「更省电」，动笔前先圈出来。本组电动势、内阻与两组 U–I 数据均为原创自编示意，已按闭合电路欧姆定律与功率守恒逐项回代互验，不代表真实电源参数。

四、自测清单

• 先写全三个功率 P总、P出、P内，确认 P总 = P出 + P内
• 推导最大值用 (R+r)² = (R−r)² + 4Rr，别直接套结论不写依据
• η 用 U/E 或 R/(R+r) 两个算法互验
• 两组 U–I 数据求 E、r 后，代回原数据检验
• 结论分「功率」与「效率」两栏写，不用一句「更好」笼统作答