联招物理·实验题：探究弹性势能与形变量的关系

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

思路一句话：让弹簧把小车弹出去，在水平轨道上测小车匀速段的速度 v，忽略摩擦与弹簧自身动能时 Ep = ½mv²。若理论 Ep = ½kx² 成立，则应有 ½mv² ∝ x²，也就是 v ∝ x，且 Ep/x² 为常数 ½k。所以这题的数据处理其实是「算 Ep、除以 x²、看是不是常数、再由 ½k 反求 k」。

三条前提要能说出来：①轨道水平且摩擦可忽略；②弹簧释放后与小车分离，弹性势能全部转为小车平动动能；③x 从弹簧自然长度量起。下面质量、压缩量与速度均为自编示意，全部做过双向回代互验。

二、题目呈现

自编数据（示意）

小车质量 m = 0.200 kg（自编），水平轨道，弹簧每次压缩 x 后由静止释放，测速器记录小车匀速段速度 v：

x = 2.00 cm → v = 0.400 m/s

x = 4.00 cm → v = 0.800 m/s

x = 6.00 cm → v = 1.20 m/s

题1（计算）

(1) 把 x 换成 m，分别求三组 Ep = ½mv²；

(2) 分别求 Ep/x²，判断是否近似为常数，并说明这支持什么结论；

(3) 检验 v/x 是否为常数，作为另一条独立验证。

题2（计算＋回代）

(1) 由 Ep = ½kx² 求劲度系数 k；

(2) 用 k 反算三组 Ep，与题1 结果核对；

(3) 外推 x = 8.00 cm 时的 Ep 与 v，并双向回代。

题3（误差判断）

分别判断下列情形使求得的 k 偏大、偏小还是不变，并各写一句理由：

(1) 轨道存在摩擦，小车匀速段速度略低于理想值；

(2) 压缩量 x 从「弹簧已被预压 0.50 cm 的位置」量起，读数偏大；

(3) 测速器实际测的是小车刚脱离弹簧瞬间的速度，此时弹簧仍有少许振动动能未完全转化。

三、分步解析

题1 (1)　x 换成 m：0.0200、0.0400、0.0600 m。Ep = ½×0.200×v² = 0.100 v²： 第一组 v=0.400 → Ep = 0.100×0.1600 = 0.0160 J； 第二组 v=0.800 → Ep = 0.100×0.6400 = 0.0640 J； 第三组 v=1.20 → Ep = 0.100×1.440 = 0.144 J。回代：由 Ep 反解 v=√(2Ep/m)=√(2×0.0160/0.200)=√0.160=0.400 ✓，三组同理。

题1 (2)　x²：4.00×10⁻⁴、1.60×10⁻³、3.60×10⁻³ m²。Ep/x² 分别为 0.0160/4.00×10⁻⁴ = 40.0；0.0640/1.60×10⁻³ = 40.0；0.144/3.60×10⁻³ = 40.0（单位 J/m² = N/m）。三组完全相同，说明 Ep ∝ x²，与 Ep = ½kx² 一致，且 ½k = 40.0 N/m。回代：40.0×x² 逐组还原 Ep ✓。

题1 (3)　v/x：0.400/0.0200 = 20.0；0.800/0.0400 = 20.0；1.20/0.0600 = 20.0（s⁻¹）。v ∝ x 与 Ep ∝ x² 是同一关系的两种写法（Ep=½mv²，v²∝x² ⟺ v∝x），两条路径独立得出同一常数，互为验证 ✓。

题2 (1)　由 Ep = ½kx² 得 ½k = Ep/x² = 40.0 N/m，故 k = 80.0 N/m。回代：½×80.0×(0.0200)² = 40.0×4.00×10⁻⁴ = 0.0160 J ✓。

题2 (2)　用 k=80.0 反算：x=0.0200 → 0.0160 J；x=0.0400 → ½×80×1.60×10⁻³ = 0.0640 J；x=0.0600 → ½×80×3.60×10⁻³ = 0.144 J。三组与题1 (1) 逐项一致 ✓。再由 Ep 反算 v：√(2×0.0160/0.200)=0.400、√(2×0.0640/0.200)=0.800、√(2×0.144/0.200)=1.20，也与原表一致 ✓。

题2 (3)　x = 8.00 cm = 0.0800 m：Ep = ½×80.0×(0.0800)² = 40.0×6.40×10⁻³ = 0.256 J；v = √(2Ep/m)=√(2×0.256/0.200)=√2.56 = 1.60 m/s。双向回代：由 v 反算 Ep = 0.100×1.60² = 0.256 J ✓；由 v/x = 1.60/0.0800 = 20.0，与题1 (3) 的常数一致 ✓；Ep/x² = 0.256/6.40×10⁻³ = 40.0 = ½k ✓。

题3 (1)　k 偏小。摩擦使实测 v 偏小，由 Ep=½mv² 算出的 Ep 偏小，而 x 测量无误，故 k = 2Ep/x² 偏小。物理上：一部分弹性势能变成了摩擦热，没进小车动能。

题3 (2)　k 偏小。若从「已预压 0.50 cm 处」当作零点，读出的 x 比真实形变量偏大（例如真实 1.50 cm 记成 2.00 cm），Ep 由 v 决定不变，而分母 x² 偏大，故 k 偏小。数值回代：仍用第一组 Ep=0.0160 J，若 x 误记 0.0200 而真实 0.0150，则 k_calc = 2×0.0160/0.0200² = 80.0，k_true = 2×0.0160/0.0150² ≈ 142.2 N/m，误算值明显偏小 ✓。

题3 (3)　k 偏小。刚脱离瞬间弹簧自身还带振动动能，弹性势能没有全部转成小车平动动能，故此时测得的 v 小于稳态匀速段速度，Ep 偏小、k 偏小。说明：这与 (1) 都表现为「能量没全给小车」，但成因不同——(1) 是被摩擦耗散，(3) 是仍留在弹簧里；改进都是测脱离后匀速段的速度并等弹簧静止。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 把 cm 直接平方当 m² 用，Ep/x² 差 10⁴ 倍。
• 用 Ep=½mv² 时漏掉 ½，或把 k 写成 Ep/x²（应是 2Ep/x²）。
• 只算 Ep 不除以 x²，就看不出是不是二次关系。
• 测刚脱离瞬间的速度：弹簧自身动能还在，能量没全部转化。
• 压缩量不从自然长度量起，x 带系统偏差，k 整体偏小还看不出来。

六、小结与自查清单

• □ 先把 x 换成 m 再平方，Ep 用 ½mv² 不带错系数。
• □ 算完 Ep 必除以 x²，看是不是常数。
• □ 同时算 v/x，作为独立验证路径。
• □ 由 ½k=Ep/x² 求 k，再反算三组 Ep 与 v。
• □ 误差题先判断「能量有没有全给小车」「x 有没有系统偏差」。

弹性势能不能直接读，就换成能读的量：½mv² 是桥，Ep/x² 是判据，½k 是结果，v/x 是第二条独立验证。四条互相回代都对得上，整个实验才算做完；而摩擦、零点、脱离瞬间这三类误差，本质都是「能量没全进小车」或「x 被记错」。本组质量、压缩量、速度与 k 值均为原创自编示意数据，做过双向回代互验。