题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
识别信号很硬：题目不给 f(x) 的解析式，却给了 f 与 f′ 之间的不等式。这时不要试图求 f，而要造一个函数 g，使 g′ 恰好是题干那个式子的正数倍。乘积求导的形状 (uv)′ = u′v + uv′ 里，若取 u = e^{kx}，则 u′ = k e^{kx}，于是
g(x) = e^{kx} f(x) ⇒ g′(x) = e^{kx}[ f′(x) + k f(x) ]。
因为 e^{kx} > 0，g′ 的符号只由括号决定。于是「f′ + kf > 0」直接翻译成「g 单调递增」。最后用题给的 f(0)（或某个已知点）算出 g 在该点的值，把待解不等式也改写成 g(x) 与这个值的比较即可。
二、逐题精讲
题1
题1 f′ + f > 0 型
已知 f(x) 是定义在 R 上的可导函数，满足 f(x) + f′(x) > 0 对一切 x ∈ R 成立，且 f(0) = 1。求不等式 ex f(x) > 1 的解集。
解析
第一步 构造。题干是 f′ + f > 0，对应 k = 1，取 g(x) = ex f(x)。第二步 求导判号。g′(x) = ex f(x) + ex f′(x) = ex[f(x) + f′(x)]。由 ex > 0 且 f(x) + f′(x) > 0，得 g′(x) > 0，故 g 在 R 上严格单调递增。
第三步 定临界值。g(0) = e⁰ f(0) = 1 × 1 = 1。
第四步 改写待解不等式。ex f(x) > 1 就是 g(x) > g(0)。由 g 严格递增，g(x) > g(0) ⇔ x > 0。
第五步 验端点。x = 0 时左边 = 1，不满足严格大于，故 0 不取。解集为 (0, +∞)。
答案 (0, +∞)
采分点 构造函数 g(x)=e^x f(x) 2 分；正确求导并合并成 e^x(f+f′) 2 分；由条件得 g′>0、判严格递增 2 分；算 g(0)=1 并用单调性转化 2 分；端点检验与解集 1 分。
易错点 构造 g(x) = e^{−x} f(x)（指数符号取反，g′ 变成 e^{−x}(f′−f)，与条件对不上）；把 g′ 写成 e^x(f−f′)；忘记用 f(0) 定临界值，直接写「x 大于某个数」；把 > 写成 ≥ 把 0 纳入解集。
题2
题2 f′ − f > 0 型与一般化
(1) 若 f(x) 定义在 R 上可导，满足 f′(x) − f(x) > 0，且 f(0) = 1，求不等式 f(x)e−x > 1 的解集。
(2) 一般化：若 f′(x) + k f(x) > 0（k > 0 为常数），应构造什么函数？写出 g′(x) 并说明理由。
解析
(1) 条件是 f′ − f > 0，可写成 f′ + (−1)f > 0，对应 k = −1，构造 h(x) = f(x)e−x。h′(x) = f′(x)e−x − f(x)e−x = e−x[f′(x) − f(x)] > 0，故 h 在 R 上严格递增。h(0) = f(0)e⁰ = 1。待解不等式即 h(x) > h(0)，故 x > 0，解集 (0, +∞)。
与题1 对照：两题答案相同但构造不同——题1 乘 ex，题2 乘 e−x。判别只看括号里 f 的系数：f′ +1·f 配 ex，f′ −1·f 配 e−x。若把题2 错造成 exf(x)，则 g′ = ex(f′+f)，符号无法由 f′−f>0 判定，整题就走不下去。
(2) 构造 g(x) = ekx f(x)。求导：g′(x) = k ekx f(x) + ekx f′(x) = ekx[f′(x) + k f(x)]。因为 ekx > 0 且 f′ + kf > 0，故 g′(x) > 0，g 严格递增。
推广到系数不为 1 的情形：若条件写成 f(x) + 2f′(x) > 0，先两边除以 2 化为 f′(x) + ½ f(x) > 0，即 k = ½，应构造 g(x) = ex/2 f(x)，而不是 e2x f(x)。先归一化 f′ 的系数，再读 k，这是这类题最容易漏的一步。
答案 (1) (0, +∞)；(2) 构造 g(x)=e^{kx}f(x)，g′(x)=e^{kx}[f′(x)+kf(x)]>0，故 g 严格递增。
采分点 (1) 构造 2 分、求导 2 分、h(0)=1 与单调性转化 2 分；(2) 一般构造与求导 2 分、归一化说明 2 分。
易错点 把 f′−f>0 仍配 e^x；一般化时写成 e^{x/k}；条件为 f+2f′>0 时不归一化，直接取 k=2；忽略 e^{kx}>0 这一判号前提。
三、规律小结与对照表
| 题给条件 | 构造函数 | g′(x) | 结论 |
|---|---|---|---|
| f′(x) + f(x) > 0 | g = e^x f(x) | e^x[f′+f] > 0 | g 递增 |
| f′(x) − f(x) > 0 | h = e^{−x} f(x) | e^{−x}[f′−f] > 0 | h 递增 |
| f′(x) + k f(x) > 0 | g = e^{kx} f(x) | e^{kx}[f′+kf] > 0 | g 递增 |
| f(x) + 2f′(x) > 0 | 先化 f′+½f>0，取 g = e^{x/2} f(x) | e^{x/2}[f′+½f] > 0 | g 递增 |
| f′(x) − f(x) < 0（对照） | h = e^{−x} f(x) | e^{−x}[f′−f] < 0 | h 递减 |
这一类题的「题眼」不在计算，而在把括号里的形状配出来：先把条件整理成 f′ + k f 的标准形，取 g = e^{kx} f，再用 e^{kx} > 0 把不等式整体搬成单调性。最后别忘了用已知点定临界值、验端点开闭。本题函数条件与数值均为原创自编仿真题，构造与求导已逐项回代互验。
四、自测清单
- 先把题给不等式化成 f′(x) + k f(x) 的标准形，f′ 系数先归一
- 按 k 取 g(x)=e^{kx}f(x)，k 可正可负
- 求导后验证括号恰好等于题给式子，配不上就换指数符号
- 用 f(0) 或已知点算 g 的临界值，把待解式改写成 g(x) 与临界值比较
- 严格不等号验端点，写成区间并检查开闭
