题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
两个考点常被混在一起考，但工具不同。分界点可导性只有一个判据：f′₋(x₀) = f′₊(x₀) 且都存在；用定义算 lim_{h→0⁻} [f(x₀+h)−f(x₀)]/h 与 lim_{h→0⁺} …，不能把两段各自求导后直接把 x₀ 代进去（那是求「导函数的极限」，不等价于该点导数）。
|g(x)| = a 的根数只有一条路：先画 y = |g(x)| 的图像——把 g(x) < 0 的那一段关于 x 轴翻上去，再用水平线 y = a 去数交点；临界值（a = 0、a = 局部峰值）必须单独验，最易漏。
二、逐题精讲
题1
题1 分界点的连续性与可导性
设 f(x) = { x², x ≥ 0；x, x < 0 }。
(1) 判断 f(x) 在 x = 0 处是否连续；(2) 判断在 x = 0 处是否可导，并说明理由；(3) 说明「连续」与「可导」的关系。
解析
(1) 连续。f(0) = 0² = 0；左极限 limx→0⁻ f(x) = lim x = 0；右极限 limx→0⁺ f(x) = lim x² = 0。三者相等，故 f 在 x = 0 处连续。(2) 不可导。按定义分别算单侧导数：
右导数：f′₊(0) = limh→0⁺ [f(0+h) − f(0)]/h = limh→0⁺ h²/h = limh→0⁺ h = 0。
左导数：f′₋(0) = limh→0⁻ [f(0+h) − f(0)]/h = limh→0⁻ h/h = 1。
0 ≠ 1，左右导数不相等，故 f 在 x = 0 处不可导。（图像上就是左侧直线斜率 1 与右侧抛物线在原点切线斜率 0 形成一个「折角」。）
常见错法辨析：若直接写「x≥0 时 f′=2x，故 f′(0)=0；x<0 时 f′=1」，这只是两段的导函数表达式在 0 附近的值，并不能替代分界点的导数定义——本题右侧恰好是 0 会掩盖错误，把右段换成 2x（右导数 2、左导数 1）时两种做法仍会给出不同判断，可见必须用定义。
(3) 关系。可导 ⇒ 连续，连续 ⇏ 可导。本题即为反例：f 在 0 处连续但不可导。典型反例还有 y = |x| 在原点。反向不成立的原因是可导要求左、右「变化率」也一致，比连续（只要求函数值接得上）更强。
答案 (1) 连续；(2) 不可导（右导数 0、左导数 1，不等）；(3) 可导必连续，连续未必可导。
采分点 (1) 三个量各 1 分；(2) 左右导数定义式各 2 分、结论 1 分；(3) 关系 1 分、举出本题或 |x| 为反例 1 分；指出「代导函数」的错法 1 分。
易错点 把两段分别求导再代 x=0，误判可导；只算右导数就下结论；把 f′₋ 写成 −1（把 h→0⁻ 时 h/h 误算成 −1，其实恒为 1）；把关系写成「连续⇒可导」。
题2
题2 |x² − 2x| = a 的根数分类
讨论关于 x 的方程 |x² − 2x| = a 的实根个数（a ∈ R）。
解析
第一步 画图像。令 u(x) = x² − 2x = x(x − 2)，开口向上、零点 0 与 2、顶点 (1, −1)，在 (0, 2) 内 u < 0。取绝对值后，这一段关于 x 轴翻上去，顶点变成 (1, 1)。故 g(x) = |u(x)| ≥ 0，图像呈 W 形：在 (−∞,0] 递减到 0，在 [0,1] 递增到 1，在 [1,2] 递减到 0，在 [2,+∞) 递增到 +∞。第二步 水平线 y = a 数交点，按五个区间分类：
① a < 0：g(x) ≥ 0，水平线在 x 轴下方，0 个根。
② a = 0：g(x) = 0 ⇔ x(x−2) = 0，得 x = 0、2，2 个根。
③ 0 < a < 1：由 u = a（x²−2x−a=0，Δ = 4+4a > 0，2 根）与 u = −a（x²−2x+a=0，Δ = 4−4a > 0，2 根），共 4 个根。
④ a = 1：u = 1 给 x = 1 ± √2（2 根）；u = −1 给 x²−2x+1 = 0，即 (x−1)² = 0，只有 x = 1（重根，计 1 个）。共 3 个根。
⑤ a > 1：u = a 给 2 根（Δ = 4+4a > 0）；u = −a 给 x²−2x+a = 0，Δ = 4−4a < 0，无实根。共 2 个根。
第三步 临界验算。a = 1 时中间那段翻折的峰值恰好与水平线相切于 x = 1，是 4 根变 2 根的过渡，必须单列；a = 0 时两处谷底各一个根，也不是 4 根。把 0 < a < 1 取 a = 0.5 验：u = 0.5 → x = 1 ± √1.5（2 根），u = −0.5 → x = 1 ± √0.5（2 根），合计 4 ✓；取 a = 2 验：u = 2 → x = 1 ± √3（2 根），u = −2 无解，合计 2 ✓。
答案 a<0：0 个；a=0：2 个；0<a<1：4 个；a=1：3 个；a>1：2 个。
采分点 画出 W 形图像并指出翻折后峰值 (1,1) 2 分；五个区间各自结论 5×1 分；用判别式或图像说明依据 2 分；a=1 的重根临界说明 2 分；取特例验算 1 分。
易错点 把 |u| 图像画成「整条抛物线上移」或只翻折一半，漏掉 (1,1) 这个局部峰值；漏掉 a=1 的 3 根临界情形，直接写 0/2/4/2；把 a<0 答成 2 根（忽略绝对值非负）；判别式 Δ = 4−4a 的符号写反；把重根计成 2 个。
三、规律小结与对照表
| 考点 | 判据／图像 | 本题结论 |
|---|---|---|
| 分界点连续 | f(x₀)=左极限=右极限 | 0 = 0 = 0，连续 |
| 分界点可导 | 左导数 = 右导数 | 1 ≠ 0，不可导 |
| 两者关系 | 可导 ⇒ 连续；连续 ⇏ 可导 | 本题即反例 |
| |g(x)| 图像 | g<0 段关于 x 轴翻上 | u 顶点 (1,−1) → g 峰值 (1,1)，W 形 |
| 根数分类 | 水平线 y=a 与 W 形交点 | 0 / 2 / 4 / 3 / 2 |
| 必验临界 | a=0（谷底）、a=1（峰值相切） | a=1 时重根计 1 个，共 3 个 |
这两题的共同纪律是「别跳图、别跳定义」：可导性用左右导数定义算，绝对值根数先把 W 形画出来再数交点，两个临界值各验一次。少一步，答案就会从 3 根写成 2 根、从不可导写成可导。本题函数与参数均为原创自编仿真题，五类根数与左右导数已逐项回代互验。
四、自测清单
- 分界点处一律用导数定义算左右导数，不代分段导函数
- 先判连续再判可导，并记住连续不保证可导
- 画 |g| 图像时只翻折 g<0 的区间，标出新峰值坐标
- 根数分类把 a=0 与 a=局部峰值单列，不并入开区间
- 每类取一个具体 a 值代回方程验根数
- 重根只计 1 个实根，别按 2 个算
