联招数学·极值点偏移入门：对称构造与比值换元

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

先看现象：f(x)=xe^{−x} 在 x₀=1 取极大值 1/e，左侧递增、右侧递减。若水平线 y=m（0<m<1/e）与曲线交于 x₁<1<x₂，两个交点并不是关于 x=1 对称——右侧拖得更远，所以 x₁+x₂>2。要证的正是这个「不对称」。

标准武器是对称构造：令 F(x)=f(x)−f(2x₀−x)，这里 x₀=1，即 F(x)=f(x)−f(2−x)。只要证出 x∈(0,1) 时 F(x)<0，就有 f(x₁)<f(2−x₁)；而 2−x₁ 落在右侧递减段，结合 f(x₂)=f(x₁) 便得 x₂>2−x₁，即 x₁+x₂>2。下面数据与函数式均为自编，做过数值与符号双重互验。

二、题目呈现

题1（解答题）

设 f(x)=x e^{−x}（x>0）。

(1) 求 f′(x)，写出单调递增与递减区间；

(2) 求极大值点与极大值；

(3) 说明方程 f(x)=m 在 0<m<1/e 时恰有两个实根。

题2（计算·自编试值表）

取自编 m=0.300。下表为自编试值（保留四位小数）：

f(0.48)=0.2970，f(0.50)=0.3033，f(1.75)=0.3041，f(1.80)=0.2975。

(1) 用线性插值分别估计两根 x₁∈(0.48,0.50)、x₂∈(1.75,1.80)；

(2) 求 x₁+x₂，与 2x₀=2 比较，判断偏移方向；

(3) 说明为什么不能用「两根关于 x=1 对称」直接得 x₁+x₂=2。

题3（证明题）

(1) 令 F(x)=f(x)−f(2−x)（0<x<1），用换元 t=1−x 化简并证明 F(x)<0；

(2) 由 (1) 严格证明 x₁+x₂>2；

(3) 用题2 的数值结果回代检验该结论。

三、分步解析

题1 (1)　f′(x)=e^{−x} + x(−e^{−x}) = (1−x)e^{−x}。因 e^{−x}>0，故 f′>0 当 0<x<1，f′<0 当 x>1。递增区间 (0,1)，递减区间 (1,+∞)。

题1 (2)　f′(1)=0，左正右负，故 x₀=1 为极大值点，f(1)=1×e^{−1}=1/e ≈ 0.3679。回代：f(0.5)=0.5e^{−0.5}≈0.3033 < 1/e，f(2)=2e^{−2}≈0.2707 < 1/e，两侧都低于极大值 ✓。

题1 (3)　x→0⁺ 时 f→0；在 (0,1) 上 f 从 0 连续增到 1/e；在 (1,+∞) 上 f 从 1/e 连续减向 0（x→+∞ 时 xe^{−x}→0）。故对任意 0<m<1/e，水平线 y=m 与左支、右支各交一次，恰有两个实根 x₁∈(0,1)、x₂∈(1,+∞)。

题2 (1)　左根：在 (0.48, 0.50) 上线性插值，x₁ ≈ 0.48 + 0.02×(0.300−0.2970)/(0.3033−0.2970) = 0.48 + 0.02×0.0030/0.0063 ≈ 0.48 + 0.00952 = 0.4895。右根：在 (1.75, 1.80) 上，x₂ ≈ 1.75 + 0.05×(0.3041−0.300)/(0.3041−0.2975) = 1.75 + 0.05×0.0041/0.0066 ≈ 1.75 + 0.03106 = 1.7811。回代：0.4895e^{−0.4895}≈0.4895×0.6129≈0.3000；1.7811e^{−1.7811}≈1.7811×0.1685≈0.3001，与 m=0.300 一致（插值误差内）✓。

题2 (2)　x₁+x₂ ≈ 0.4895+1.7811 = 2.2706 > 2 = 2x₀，即两零点之和大于极值点横坐标的两倍，右侧偏离得更远（x₂−1≈0.7811 > 1−x₁≈0.5105）。

题2 (3)　对称只在函数图象关于 x=1 对称时成立，而 f(x)=xe^{−x} 并不关于 x=1 对称：f(1+t)=(1+t)e^{−1−t}，f(1−t)=(1−t)e^{−1+t}，二者一般不等（题3 会严格证出大小关系）。若强行套「对称」，会得 x₂=2−x₁≈1.5105，代回 f(1.5105)=1.5105e^{−1.5105}≈1.5105×0.2208≈0.3335 ≠ 0.300，与 f(x₂)=m 矛盾——这就是反证。

题3 (1)　令 t = 1−x ∈ (0,1)，则 x=1−t，2−x=1+t。F(x) = (1−t)e^{−(1−t)} − (1+t)e^{−(1+t)} = e^{−1}[ (1−t)e^{t} − (1+t)e^{−t} ]。记 H(t) = (1−t)e^{t} − (1+t)e^{−t}，H(0)=0。求导：H′(t) = −e^{t} + (1−t)e^{t} − e^{−t} + (1+t)e^{−t} = t(e^{−t} − e^{t})。因 t>0 时 e^{−t}<e^{t}，故 H′(t)<0，H 在 (0,1) 上严格递减，结合 H(0)=0 得 H(t)<0；又 e^{−1}>0，故 F(x)<0 对 0<x<1 成立。数值抽查：t=0.5（x=0.5）时 H=0.5e^{0.5}−1.5e^{−0.5}=0.8244−0.9098=−0.0854<0，F≈−0.0314<0，与 f(0.5)=0.3033 < f(1.5)=0.3347 一致 ✓。

题3 (2)　取 x=x₁∈(0,1)，由 (1) 得 f(x₁) < f(2−x₁)。注意 2−x₁∈(1,2)，与 x₂ 同处递减区间 (1,+∞)。又 f(x₂)=m=f(x₁)，故 f(x₂) < f(2−x₁)。在递减段上，函数值越小对应自变量越大，因此 x₂ > 2−x₁，即 x₁+x₂ > 2 = 2x₀。证毕。关键点两处：一要确认 2−x₁ 落在同一单调段，二要正确使用递减不等号的方向。

题3 (3)　用题2 的插值结果回代：x₁+x₂≈2.2706>2 ✓；再看构造本身，x₁≈0.4895，2−x₁≈1.5105，f(2−x₁)=1.5105e^{−1.5105}≈0.3335 > 0.300=f(x₁)，即 F(x₁)=0.300−0.3335≈−0.0335<0 ✓；且 x₂≈1.7811 > 1.5105 ✓，三步与严格证明逐项对应。另以精确数值解核对：方程 xe^{−x}=0.300 的两根约为 0.48940 与 1.78134，和 ≈2.27074 > 2 ✓。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 默认两零点关于极值点对称，直接写 x₁+x₂=2x₀——这正是要证的否命题。
• 构造 F 后不确认 2−x₁ 是否落在同一单调区间，递减段的不等号方向就用错。
• 换元时把 e^{−(1−t)} 与 e^{t} 的系数搞混，H′ 化简不出 t(e^{−t}−e^{t})。
• 插值只在端点代入一次，不回代 f(x)=m 验证。
• 把「右侧拖得更远」当结论直接写，不给 F(x)<0 的严格推导。

六、小结与自查清单

• □ 先求极值点与单调区间，确认 2x₀−x₁ 落在哪个单调段。
• □ 构造 F(x)=f(x)−f(2x₀−x)，用换元把指数项合并。
• □ 证 F 符号后，用「递减段函数值小 ⇒ 自变量大」翻成 x 的不等式。
• □ 数值题插值完必回代原式，并与严格结论逐项对照。
• □ 绝不把「对称」当前提；对称恰恰是本题要否定的东西。

极值点偏移的题眼是「看起来对称，其实不对称」：对称构造把「差多少」变成一个可求导的 F(x)，F 的符号再借单调段翻译成 x₁+x₂ 与 2x₀ 的大小。数值插值只用来给直觉，真正站得住的是 H′=t(e^{−t}−e^{t})<0 那一步。本组函数、试值表与 m 值均为原创自编仿真内容，全部经数值与符号双重互验。