题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
无解析式时，工具只有三件：①对函数方程两边求导（f(−x)=−f(x) 求导得 f′(−x)=f′(x)，即奇函数的导数是偶函数）；②构造辅助函数（见 f′−f>0 就造 g=e^{−x}f，因 g′=e^{−x}(f′−f)）；③把抽象不等式用奇偶性与单调性「脱壳」（f(a)+f(b)>0 → f(a)>−f(b)=f(−b) → a>−b）。
两条纪律：推单调性必须说明在整个区间上 f′ 的符号，不能只凭 x>0 的片段外推；所有结论都要能拿一个具体函数回代验证（本组用 f(x)=x³/8 与 f(x)=e^{2x}−e^{x} 作验算样例，它们满足题设但不参与推理）。下面三题的条件与数值均为自编。
二、题目呈现
题1（解答题）
设 f(x) 在 R 上可导，f(−x)=−f(x)（奇函数），且当 x>0 时 f′(x)>0，f(2)=1。
(1) 证明 f′(−x)=f′(x)，并由此说明 f 在 R 上单调递增；
(2) 解不等式 f(x−1)+f(x−3)>0。
题2（解答题）
设 f(x) 在 [0,+∞) 上可导，f(0)=0，且对 x>0 有 f′(x)>f(x)。
(1) 令 g(x)=e^{−x}f(x)，求 g′(x) 并判断 g 在 (0,+∞) 上的单调性；
(2) 证明当 x>0 时 f(x)>0。
题3（判断＋说明）
在题1 条件下，判断下列说法是否正确并各给一句理由：
① f(0)=0；② f(−2)=−1；③ f(x) 在 (−∞,0) 上递减；④ 不等式 f(x−1)+f(x−3)>0 的解集是 x>2。
三、分步解析
题1 (1) 对 f(−x)=−f(x) 两边关于 x 求导：左边 −f′(−x)，右边 −f′(x)，故 f′(−x)=f′(x)，即 f′ 为偶函数。于是当 x<0 时 −x>0，f′(x)=f′(−x)>0；x>0 时题设 f′>0；x=0 处由连续性与两侧导数非负，f 在 R 上单调递增（严格性说明：若某区间上 f′≡0 会与 f(2)=1、f(0)=0 矛盾，故整体严格递增）。回代样例：f(x)=x³/8 是奇函数、f′(x)=3x²/8>0（x>0）、f(2)=1，且 f′ 为偶函数 ✓。
题1 (2) 由奇函数 f(−t)=−f(t)，得 f(x−3)=−f(3−x)。原不等式化为 f(x−1)>−f(x−3)=f(3−x)。由 (1) f 严格递增，故 x−1>3−x ⟹ 2x>4 ⟹ x>2。回代验算：取 f(x)=x³/8，则 f(x−1)+f(x−3)=[(x−1)³+(x−3)³]/8；x=2 时 =(1−1)/8=0（边界不取），x=3 时 =(8+0)/8=1>0，x=1 时 =(0−8)/8=−1<0，与 x>2 完全一致 ✓。
题2 (1) g(x)=e^{−x}f(x)，g′(x)=−e^{−x}f(x)+e^{−x}f′(x)=e^{−x}[f′(x)−f(x)]。因 x>0 时 f′(x)−f(x)>0 且 e^{−x}>0，故 g′(x)>0，g 在 (0,+∞) 上单调递增；又 g 在 [0,+∞) 连续，g(0)=e⁰·f(0)=0。
题2 (2) 由 g 递增且 g(0)=0，得当 x>0 时 g(x)>g(0)=0，即 e^{−x}f(x)>0。因 e^{−x}>0，故 f(x)>0。回代验算：取 f(x)=e^{2x}−e^{x}，f(0)=0，f′(x)=2e^{2x}−e^{x}，f′(x)−f(x)=e^{2x}>0 满足题设；g(x)=e^{−x}(e^{2x}−e^{x})=e^{x}−1，x>0 时 >0 ✓，且 f(x)=e^{x}(e^{x}−1)>0 ✓。
题3 ① 正确：奇函数在 0 处有定义则 f(0)=−f(0) ⟹ f(0)=0。② 正确：f(−2)=−f(2)=−1。③ 错误：由 f′ 为偶函数，x<0 时 f′(x)=f′(−x)>0，故 f 在 (−∞,0) 上递增而非递减。④ 正确：即题1 (2) 的结论，解集 x>2（x=2 时两边相等为 0，取严格大于故不含端点）。一致性核对：f 在 R 上严格递增且 f(0)=0、f(2)=1、f(−2)=−1，零点唯一为 x=0，四条判断互不矛盾 ✓。
四、采分点对照
| 题号 | 答案 | 采分点构成 |
|---|---|---|
| 题1 (1) | f′ 偶；f 在 R 递增 | 对函数方程求导 1 分；得出 f′(−x)=f′(x) 1 分；补出 x<0 段符号 1 分；整体递增结论 1 分；具体函数回代 1 分 |
| 题1 (2) | x>2 | 用奇函数化 −f(x−3)=f(3−x) 1 分；脱去 f 得 x−1>3−x 1 分；解集与端点 1 分；x³/8 三点回代 1 分 |
| 题2 (1) | g′=e^{−x}(f′−f)>0，g 递增 | 乘积求导 1 分；提出 e^{−x} 1 分；由条件判正 1 分；g(0)=0 1 分 |
| 题2 (2) | f(x)>0 | 由 g(x)>g(0) 1 分；e^{−x}>0 保号 1 分；e^{2x}−e^{x} 回代 1 分 |
| 题3 | ①对 ②对 ③错 ④对 | 四条各 1 分；③须说明 f′ 偶导致左半递增；④须说明端点不取 |
五、高频易错点
- 对 f(−x)=−f(x) 求导时漏掉链式法则的负号，得出 f′ 为奇函数的错误结论。
- 只由 x>0 的 f′>0 就宣布全 R 递增，不补 x<0 的推导。
- 把 f(a)+f(b)>0 直接「约掉 f」，不用奇函数转成 f(−b)。
- 构造 g=e^{−x}f 后忘记 g(0)=0，或忽略 e^{−x}>0 才可保号。
- 具体函数回代时挑了不满足题设的函数（如 f(x)=x² 不是奇函数），验算无效。
六、小结与自查清单
| 条件 | 可用工具 | 得到的结论 | 验算样例 |
|---|---|---|---|
| f 奇且可导 | 对函数方程求导 → f′ 偶 | x<0 段 f′>0，全 R 递增 | f(x)=x³/8 |
| f′(x)>f(x) | 造 g=e^{−x}f | g′>0 → f(x)>0 | f(x)=e^{2x}−e^{x} |
| f(a)+f(b)>0 | 奇函数 + 单调性脱壳 | a>−b | x³/8 三点代入 |
- □ 见到 f(−x)=±f(x) 先求导，写出 f′ 的奇偶性。
- □ 见到 f′−f>0 想到 e^{−x}f，见到 f′+f>0 想到 e^{x}f。
- □ 脱壳前先确认 f 在所需区间上严格单调，并说明依据。
- □ 抽象不等式解完，代一个满足题设的具体函数验三点。
- □ 端点是否取到，由「严格大于/大于等于」与等号成立条件定。
无解析式的题看着玄，其实全靠两把固定的钥匙：对函数方程求导拿对称性，构造 e^{±x}f 把条件变成导数符号，剩下就是「递增函数可以脱壳」。每步都拿一个满足题设的具体函数回代，推理有没有跳步立刻看得出来。本组条件、函数样例与数值均为原创自编仿真内容，全部经回代互验。
