联招数学·三次函数专题：对称中心、极值与零点

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

三次函数 f(x)=ax³+bx²+cx+d 的对称中心就是拐点 (−b/(3a), f(−b/(3a)))，也就是 f″(x)=0 的点。对 f(x)=x³−6x²+9x−2，f″(x)=6x−12，拐点横坐标 x=2，f(2)=0，故中心为 (2,0)。验证方法是 f(2+t)+f(2−t)=2f(2)，后面每问都要拿它回代。

极值看 f′(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)：x=1 处由正变负是极大，x=3 处由负变正是极小。零点个数不用硬解：极大值 >0 且极小值 <0 时三个实根；有一个等于 0 时两根（其中一个重根）；同号时一个实根。下面数据为自编，全部做过因式分解与数值互验。

二、题目呈现

题1（解答题）

设 f(x)=x³−6x²+9x−2。

(1) 求 f″(x)=0 的点，并证明 f 的图象关于点 (2, f(2)) 中心对称；

(2) 计算 f(2+t)+f(2−t)，验证它恒等于 2f(2)。

题2（解答题）

对上题的 f(x)：

(1) 求 f′(x) 的两个根，写出单调递增与递减区间；

(2) 求极大值与极小值，并说明 x=1、x=3 各是什么极值点；

(3) 用极大值与极小值的符号判断 f(x)=0 的实根个数。

题3（解答题）

(1) 验证 x=2 是 f(x)=0 的一个根，并把 f(x) 分解为 (x−2)(x²+px+q) 的形式；

(2) 解出全部三个实根（保留根号），并把三根按大小排序；

(3) 验证三根之和、两两乘积之和、三根之积与韦达定理一致，并核对三根分别落在题2 给出的哪个单调区间内。

三、分步解析

题1 (1)　f′(x)=3x²−12x+9，f″(x)=6x−12。令 f″(x)=0 得 x=2，f(2)=8−24+18−2=0，故拐点为 (2,0)。对称性证明：设 g(t)=f(2+t)，展开 (2+t)³−6(2+t)²+9(2+t)−2 = (8+12t+6t²+t³) −6(4+4t+t²) + 18+9t−2 = 8+12t+6t²+t³−24−24t−6t²+18+9t−2 = t³ − 3t。同理 f(2−t)=−t³+3t。两式相加恒为 0，即 f(2+t)+f(2−t)=0=2f(2)，对任意 t 成立，故图象关于 (2,0) 中心对称。

题1 (2)　由上式 f(2+t)+f(2−t) = (t³−3t)+(−t³+3t)=0，而 2f(2)=2×0=0，恒等成立。数值抽查：t=1 时 f(3)=27−54+27−2=−2，f(1)=1−6+9−2=2，和为 0；t=2 时 f(4)=64−96+36−2=2，f(0)=−2，和为 0，两处均吻合。

题2 (1)　f′(x)=3x²−12x+9=3(x²−4x+3)=3(x−1)(x−3)，两根 x=1、x=3。开口向上，故 f′>0 当 x<1 或 x>3，f′<0 当 1<x<3。递增区间：(−∞,1) 与 (3,+∞)；递减区间：(1,3)。

题2 (2)　f(1)=1−6+9−2=2（极大值）；f(3)=27−54+27−2=−2（极小值）。x=1 处 f′ 由正变负 → 极大值点；x=3 处 f′ 由负变正 → 极小值点。回代：f(1)=2>0、f(3)=−2<0 与题1 中 f(1)=2、f(3)=−2 一致。

题2 (3)　极大值 2>0、极小值 −2<0，且 x→−∞ 时 f→−∞、x→+∞ 时 f→+∞，曲线必在 (−∞,1)、(1,3)、(3,+∞) 三段各穿过 x 轴一次，故 共 3 个实根。三段各一个，与题3 解出的三根位置对应。

题3 (1)　代入 x=2：8−24+18−2=0 ✓。设 f(x)=(x−2)(x²+px+q)=x³+(p−2)x²+(q−2p)x−2q。与 x³−6x²+9x−2 比较系数：p−2=−6 ⟹ p=−4；−2q=−2 ⟹ q=1；校验 q−2p=1+8=9 ✓。故 f(x)=(x−2)(x²−4x+1)。

题3 (2)　解 x²−4x+1=0：x = (4±√(16−4))/2 = 2±√3。三根为 x₁=2−√3≈0.2679，x₂=2，x₃=2+√3≈3.7321，按大小排序即 x₁<x₂<x₃。回代：x₁ 代入二次式 (2−√3)²−4(2−√3)+1 = 7−4√3−8+4√3+1=0 ✓；x₃ 同理为 0 ✓。

题3 (3)　韦达定理（对 x³−6x²+9x−2）：三根之和 =6，两两乘积之和 =9，三根之积 =2。实算：和 =(2−√3)+2+(2+√3)=6 ✓；积 =(2−√3)(2+√3)×2=(4−3)×2=2 ✓；两两积 =(2−√3)·2 + 2·(2+√3) + (2−√3)(2+√3) = (4−2√3)+(4+2√3)+1 = 9 ✓。区间核对：x₁≈0.268∈(−∞,1)（递增段）、x₂=2∈(1,3)（递减段）、x₃≈3.732∈(3,+∞)（递增段），与题2 (3) 的「三段各一根」完全对应。再核对中心对称：x₁+x₃=4=2×2，两根关于 x=2 对称 ✓。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 把对称中心写成极值点中点却不去证 f(2+t)+f(2−t)=2f(2)，只凭「看着像」。
• 把 f′ 的两根当成零点：x=1、x=3 是极值点，f(1)=2、f(3)=−2 都不是 0。
• 判零点个数只算判别式、不结合极大极小值的符号与两端趋势。
• 因式分解时漏校验一次项系数，p、q 求错也看不出来。
• 解出三根后不回代单调区间，丢掉「三段各一根」这一互验环节。

六、小结与自查清单

• □ 先求 f″ 定拐点，再用 f(2+t)+f(2−t) 验证中心对称。
• □ f′ 因式分解后画符号表，递增递减区间一次写全。
• □ 极值算完顺手记下符号，零点个数直接用它判。
• □ 分解三次式必比较三个系数，尤其校验一次项。
• □ 三根解出后核对韦达三式，并逐一放回单调区间。

三次函数好看就好在三副面孔能互相验算：拐点给对称性，f′ 两根给极值，极值符号给零点个数，因式分解给精确根，最后韦达定理与 x₁+x₃=2×2 把整条链扣死。任何一步算错，回代时都会露出来。本组函数式、系数与根值均为原创自编仿真内容，全部经因式分解与数值互验。