联招数学·两曲线公切线与切点参数法

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

通法四步：①设两切点 C₁ 上取 (t, f(t))、C₂ 上取 (s, g(s))，两个参数必须独立（不能默认切点相同）；②各写切线 y = f′(t)(x − t) + f(t) 与 y = g′(s)(x − s) + g(s)，都化成 y = kx + b 的形式；③列两条件斜率相等 f′(t) = g′(s)，截距相等 b₁ = b₂；④解参数并回代把 t、s 代回两曲线，验证切点确在曲线上、两处斜率确实相同、截距确实一致。

一个常见误区：把「公切线」当成「两曲线交点处的切线」。公切线可以在两个不同点分别相切；若两曲线相交且在该点相切，那只是特殊的公切线。下面函数式与数值均为自编，并逐处回代验算。

二、题目呈现

题1

已知曲线 C₁：y = x²，C₂：y = x² − 2x + 2。求两曲线的公切线方程，并写出两个切点的坐标。

题2

已知曲线 C₁：y = x² + 2x，C₂：y = x² − 2x。求它们的公切线方程与两个切点坐标。

题3（单选）

设题1 中两曲线的公切线斜率为 k，两个切点的横坐标分别为 t、s，则下列结论正确的是（　）

A. k = 0，t + s = 0　B. k = 1，t + s = 2　C. k = 2，t s = 1　D. k = −1，t = s

三、分步解析

题1　设 C₁ 上切点为 (t, t²)，f′(x) = 2x ⇒ 斜率 2t，切线：
y = 2t(x − t) + t² = 2t x − t²。
设 C₂ 上切点为 (s, s² − 2s + 2)，g′(x) = 2x − 2 ⇒ 斜率 2s − 2，切线：
y = (2s − 2)(x − s) + s² − 2s + 2 = (2s−2)x − 2s² + 2s + s² − 2s + 2 = (2s − 2)x − s² + 2。
两条切线是同一条直线 ⇒ 斜率与截距分别相等：
① 2t = 2s − 2 ⇒ s = t + 1；
② −t² = −s² + 2 ⇒ s² − t² = 2。
把 s = t+1 代入②：(t+1)² − t² = 2t + 1 = 2 ⇒ t = 1/2，从而 s = 3/2。
斜率 k = 2t = 1，截距 = −t² = −1/4，故公切线为 y = x − 1/4。
两个切点：C₁ 上 (1/2, 1/4)，C₂ 上 (3/2, 9/4 − 3 + 2 = 5/4)。
回代验算（四条）：① C₁ 切点 (0.5, 0.25) 代入 y = x − 0.25 ⇒ 0.5 − 0.25 = 0.25 ✓，斜率 f′(0.5) = 1 ✓；② C₂ 切点 (1.5, 1.25) 代入 ⇒ 1.5 − 0.25 = 1.25 ✓，斜率 g′(1.5) = 2×1.5 − 2 = 1 ✓；③ 截距一致：−t² = −0.25，−s²+2 = −2.25+2 = −0.25 ✓；④ 两曲线形状相同、C₂ 是 C₁ 向左平移 1 再上移 1 所得，斜率相等条件给出唯一关系 s = t+1，故公切线恰有一条，与解的唯一性一致。

题2　设 C₁ 上切点 (t, t² + 2t)，f′(x) = 2x + 2 ⇒ 斜率 2t + 2，切线：
y = (2t+2)(x − t) + t² + 2t = (2t+2)x − 2t² − 2t + t² + 2t = (2t + 2)x − t²。
设 C₂ 上切点 (s, s² − 2s)，g′(x) = 2x − 2 ⇒ 斜率 2s − 2，切线：
y = (2s−2)(x − s) + s² − 2s = (2s−2)x − 2s² + 2s + s² − 2s = (2s − 2)x − s²。
同一直线 ⇒ ① 2t + 2 = 2s − 2 ⇒ s = t + 2；② −t² = −s² ⇒ t² = s²。
代入：t² = (t+2)² = t² + 4t + 4 ⇒ 4t + 4 = 0 ⇒ t = −1，s = 1。
斜率 k = 2(−1) + 2 = 0，截距 = −t² = −1 ⇒ 公切线为 y = −1（水平线）。
切点：C₁ 上 (−1, 1 − 2 = −1)，C₂ 上 (1, 1 − 2 = −1)。
回代验算：两切点纵坐标均为 −1，恰是两条抛物线的顶点；f′(−1) = 0、g′(1) = 0，两处斜率同为 0 ✓；截距 −t² = −1 = −s² ✓。几何上 C₁ 顶点 (−1,−1)、C₂ 顶点 (1,−1)，过两个顶点且斜率为 0 的直线即 y = −1，唯一 ✓。

题3　由题1 已得 k = 1、t = 1/2、s = 3/2，故 t + s = 2，选 B。
逐项排除：A 的 k = 0 是题2 的结果（把两组曲线记混了），且 t+s = 0 与本题不符；C 的 k = 2 与 ts = (1/2)(3/2) = 3/4 都不成立；D 的 t = s 违反「两切点独立」——若 t = s，则斜率条件 2t = 2t − 2 推出 0 = −2，矛盾，说明公切线不可能在横坐标相同的两点相切。
再验一次：把 k = 1 代回斜率条件 2t = 1 ⇒ t = 1/2；2s − 2 = 1 ⇒ s = 3/2；截距 −1/4 一致 ✓，与题1 完全吻合。

方法小结　两题用的是同一套参数法，但结果形态不同：题1 是斜公切线（k = 1，两切点横坐标差 1），题2 是水平公切线（k = 0，两切点恰为两顶点）。差别来自两条抛物线的相对位置：题1 的 C₂ 由 C₁ 平移所得且开口相同，斜率相等给出 s = t + 1；题2 的两条抛物线顶点等高，故在顶点处共享一条水平切线。两类都要靠「斜率相等＋截距相等」两个条件才能定出两个参数，少一个就解不唯一。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 只设一个切点参数，默认两曲线在同一点相切——公切线通常在两个不同点。
• 切线方程没化成 y = kx + b 就比对，把 (x − t) 型式子硬对系数导致截距算错。
• 只列「斜率相等」一个条件，漏掉「截距相等」，两个参数解不出来。
• 题2 把 t² = s² 直接开方取 s = t，漏掉 s = −t 那一支（本题由 s = t+2 与 t²=s² 联立得 t=−1,s=1）。
• 解完不回代：漏验切点是否在曲线上、两处斜率是否相同、截距是否一致。

六、小结与自查清单

• □ 两个切点设两个独立参数，别默认 t = s。
• □ 两条切线都化成 y = kx + b 再比对系数。
• □ 「斜率相等」与「截距相等」两个条件缺一不可，写全再解。
• □ 解出 t、s 后回代：切点代入曲线、两处斜率、截距三项逐条验。
• □ 注意 t² = s² 有正负两支，别只取 s = t。

公切线题没有捷径，就是「设两个切点 → 写两条切线 → 斜率相等＋截距相等 → 回代验四条」。题1 得到斜的 y = x − 1/4，题2 得到水平的 y = −1，形态不同、方法完全一样；最容易翻车的是把两切点当成同一个点，或者只列斜率条件少列截距条件。本组函数式与数值均为原创自编，并逐处回代验算。