题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
四条桥梁式要能随手互换：① AB·AC = |AB||AC|cosA = cb cosA（注意 |AB| = c、|AC| = b，别接反）；② a² = b² + c² − 2bc cosA；③ S = ½bc sinA；④ 边角互化用正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC，配合 sin(A+C) = sinB（因为 A+B+C = π）。
两条常见路径：向量 → 余弦定理（由点积得 cosA，再求 a）；边角混合式 → 化角（把边全换成 sin，再用和角公式合并，最后利用 sinB ≠ 0 约去）。做题务必做一次坐标法或数值回代，因为把 |AB| 与 |AC| 接反是最隐蔽的错误。下面边长、角度与向量数值均为自编并逐处回代。
二、题目呈现
题1
在 △ABC 中，已知 |AB| = 2，|AC| = 3，向量 AB 与 AC 的数量积 AB·AC = 3。
(1) 求角 A 与边 a（即 |BC|）；
(2) 求 △ABC 的面积 S；
(3) 建立坐标系用坐标法验证 (1)(2) 的结果。
题2
在 △ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足 (2b − c)cosA = a cosC。求角 A 的大小。
题3（单选）
在 △ABC 中，若 AB·AC = 3，|AB| = 2，|AC| = 3，则 |BC| 等于（ ）
A. √5 B. √7 C. 3 D. √13
三、分步解析
题1 (1) 由数量积定义 AB·AC = |AB||AC|cosA = 2 × 3 × cosA = 6cosA。题给 AB·AC = 3，故 cosA = 3/6 = 1/2，A ∈ (0, π) ⇒ A = 60°。
由余弦定理（注意 |AB| = c = 2、|AC| = b = 3）：
a² = b² + c² − 2bc cosA = 9 + 4 − 2 × 3 × 2 × (1/2) = 13 − 6 = 7，故 a = √7。
采分点：写出数量积定义 1 分、求 cosA 1 分、定 A 1 分、正确对应 b/c 1 分、余弦定理求 a 2 分。
题1 (2) S = ½ bc sinA = ½ × 3 × 2 × sin60° = 3 × (√3/2) = 3√3/2。
也可用数量积与模长关系互验：由 |AB × AC|² = |AB|²|AC|² − (AB·AC)² = 4 × 9 − 9 = 27，故平行四边形面积 = √27 = 3√3，三角形面积为其一半 = 3√3/2 ✓，与面积公式一致。
题1 (3) 坐标法验算：置 A 于原点，令 AB 沿 x 轴，则 B(2, 0)。由 |AC| = 3、A = 60° 得 C(3cos60°, 3sin60°) = (3/2, 3√3/2)。
① 数量积：AB·AC = (2,0)·(3/2, 3√3/2) = 2 × 3/2 + 0 = 3 ✓ 与题给一致。
② 边长：|BC|² = (3/2 − 2)² + (3√3/2 − 0)² = (−1/2)² + 27/4 = 1/4 + 27/4 = 28/4 = 7 ⇒ |BC| = √7 ✓。
③ 面积：S = ½|x_B y_C − y_B x_C| = ½ |2 × 3√3/2 − 0| = 3√3/2 ✓。
三条全部与 (1)(2) 吻合，说明 b、c 未接反、cosA 与坐标设定自洽。
题2 化角为纯角关系：由正弦定理把边换成角（a = 2R sinA、b = 2R sinB、c = 2R sinC，2R 可约去）：
(2 sinB − sinC) cosA = sinA cosC。
展开：2 sinB cosA − sinC cosA = sinA cosC ⇒ 2 sinB cosA = sinA cosC + sinC cosA。
右边正是两角和的正弦：sinA cosC + cosA sinC = sin(A + C)。又 A + B + C = π ⇒ A + C = π − B ⇒ sin(A + C) = sinB。
于是 2 sinB cosA = sinB。因 B ∈ (0, π)，sinB > 0，可约去，得 2cosA = 1 ⇒ cosA = 1/2 ⇒ A = 60°。
数值回代验算：取等边三角形 a = b = c = 2，则左边 (2b − c)cosA = (4 − 2) × 1/2 = 1，右边 a cosC = 2 × 1/2 = 1 ✓ 等式成立，且 A = 60°。再取 A = 90°（cosA = 0）检验：左边 = 0，右边 = a cosC > 0（锐角 C），不成立 ✓，排除其他解。
采分点：正弦定理化边 2 分、和角公式合并 2 分、利用 A+C = π−B 1 分、说明 sinB ≠ 0 可约 1 分、结论 1 分、回代 1 分。
题3 由题1 (1) 已得 cosA = 1/2，a = √7，故选 B。
直接路径：|BC|² = |AC − AB|² = |AC|² + |AB|² − 2 AB·AC = 9 + 4 − 2 × 3 = 13 − 6 = 7 ⇒ |BC| = √7 ✓。
快捷公式：|BC|² = b² + c² − 2 AB·AC（因为 2bc cosA 正好就是 2 AB·AC），一步可得，不必先求角。
干扰项来源：A 项 √5 是把 2 AB·AC 误算成 2×4；C 项 3 是直接取了 |AC|；D 项 √13 是漏减数量积项（只算了 9+4）。故答案为 B。
桥梁小结 本题组三题用的是同一组桥梁：题1 由 AB·AC → cosA → a → S 一路正推，再用坐标法三条回代；题2 由正弦定理化边 + 和角公式把混合式压成 cosA；题3 直接利用 2bc cosA = 2 AB·AC 跳过求角。三题的答案 A = 60°、a = √7、S = 3√3/2 可以互相印证。
四、采分点对照
| 题号 | 答案 | 采分点构成 |
|---|---|---|
| 题1 (1) | A=60°，a=√7 | 数量积定义 1 分；cosA 1 分；定角 1 分；b/c 对应 1 分；余弦定理 2 分 |
| 题1 (2) | S=3√3/2 | 面积公式 2 分；向量模长互验 2 分 |
| 题1 (3) | 坐标法三条验算 | 建系与坐标 2 分；点积 1 分；|BC| 1 分；面积 1 分；结论 1 分 |
| 题2 | A=60° | 化边 2 分；和角合并 2 分；A+C=π−B 1 分；sinB>0 1 分；结论回代 2 分 |
| 题3 | B（√7） | 写出 |BC|² 公式 2 分；代入 1 分；排除干扰 1 分 |
五、高频易错点
- 把 |AB| 与 |AC| 接反：误写成 |AB| = b、|AC| = c，导致余弦定理里 b、c 数值对调（本题恰好 9+4 对称，错也看不出，必须用坐标法验）。
- 题2 化边后忘记合并 sinA cosC + sinC cosA = sin(A+C)，或忘记 A+C = π−B。
- 题2 约去 sinB 时不说明 sinB > 0，逻辑不完整。
- 题3 把 |BC|² 写成 b² + c² − AB·AC（漏系数 2），得 13 − 3 = 10。
- 求出 cosA 后不写 A ∈ (0, π) 的范围限定，或多写一个 300° 之类的解。
六、小结与自查清单
| 桥梁式 | 用途 | 本题落点 |
|---|---|---|
| AB·AC = bc cosA | 由点积求角；或反求点积 | 题1：3 = 6cosA ⇒ A=60° |
| a² = b²+c²−2bc cosA | 由角与两边求第三边 | 题1：a=√7 |
| S = ½bc sinA | 面积 | 题1：3√3/2 |
| a=2R sinA 等 + 和角公式 | 边角混合式化角 | 题2：2sinB cosA = sinB |
| |BC|² = b²+c²−2 AB·AC | 跳过求角直接算第三边 | 题3：13−6=7 |
- □ 先写清 |AB| = c、|AC| = b，再代入数量积与余弦定理。
- □ 边角混合式一律先用正弦定理化边为角，再找和角公式。
- □ 约去 sinB 前写明 B ∈ (0,π) ⇒ sinB > 0。
- □ 用坐标法或数值回代验一遍点积、边长、面积三项，防 b/c 接反。
- □ 求角后写明取值范围，排除多余解。
向量与解三角形的接口只有一句话：AB·AC = bc cosA，而 2bc cosA 正好是余弦定理里被减掉的那一项。抓住这个，题1 能一路正推、题3 能跳过求角、题2 能把边角混合式压成 cosA。再用坐标法把点积、边长、面积三条各回代一次，b、c 有没有接反立刻现形。本组边长、角度与向量数值均为原创自编，并逐处回代。
