题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
隐零点的标准形态：f′(x)=0 解不出，但 x₀ 唯一存在。做题不求解，只做三件事——①用单调性与零点存在定理证唯一并夹区间（如 x₀∈(1,2)）；②把零点方程写成替换式（如 e^{x₀}=2x₀ 或 ln x₀ = 1−x₀），在最值式里整体代掉超越项；③把 f(x₀) 化简成一个不含超越式的表达式，再借区间估计它的范围。
关键纪律：替换式只能来自 f′(x₀)=0，不能自己编；代换后要回代检验单调性方向没变；区间估计用端点函数值异号，别用「大概」。下面三题的函数式与数据均为自编示意，全部做过回代互验。
二、题目呈现
题1（解答题）
设函数 f(x)=e^x−2x−1。
(1) 证明 f′(x)=0 在 (0,1) 内有且仅有一个实根 x₀；
(2) 不求 x₀ 的值，求 f(x₀) 的精确表达式，并判断其正负。
题2（解答题）
设 g(x)=x ln x − (3/2)x² + 3x（x>0）。记 g′(x)=0 在 (1,2) 内的根为 t。
(1) 证明 t 存在且唯一；
(2) 用「设而不求」求 g(t) 的化简式，并证明 g(t)>0。
题3（解答题·含参）
设 h(x)=e^x − a x²（a>0），其极小值点为 x₀，且 h(x₀)=0。
(1) 由 h′(x₀)=0 与 h(x₀)=0 联立，求 a 与 x₀ 满足的关系，并求出 a；
(2) 把 a 代回验证 x₀ 确为极小值点，并写出 h(x) 的单调区间。
三、分步解析
题1 (1) f′(x)=e^x−2，f″(x)=e^x>0，故 f′ 严格递增，至多一个零点。又 f′(0)=1−2=−1<0，f′(1)=e−2≈0.718>0，由零点存在定理在 (0,1) 内存在零点，记为 x₀；严格单调保证唯一。回代：e−2>0 成立。
题1 (2) 由 f′(x₀)=0 得 e^{x₀}=2（替换式）。于是 f(x₀)=e^{x₀}−2x₀−1 = 2−2x₀−1 = 1−2x₀。因 x₀=ln 2≈0.693∈(0,1)，故 1−2x₀≈−0.386<0。也可不求 x₀：由 e^{x₀}=2 且 e^x 递增，x₀=ln2>1/2（因 e^{1/2}=√e≈1.649<2），故 1−2x₀<0。精确表达式 1−2x₀，符号为负。验算：直接代 x=ln2，f(ln2)=2−2ln2−1=1−2ln2，与化简式一致。
题2 (1) g′(x)=ln x + 1 − 3x + 3 = ln x − 3x + 4。记 φ(x)=ln x−3x+4，则 φ′(x)=1/x−3，在 (1,2) 上 φ′(x)≤1−3=−2<0，故 φ 在 (1,2) 上严格递减。又 φ(1)=0−3+4=1>0，φ(2)=ln2−6+4≈0.693−2=−1.307<0，端点异号，由零点存在定理存在 t∈(1,2) 使 φ(t)=0；严格递减保证唯一。回代：φ(1)>0、φ(2)<0 数值均已复算。
题2 (2) 由 g′(t)=0 得 ln t = 3t − 4（替换式）。于是 g(t)= t·ln t − (3/2)t² + 3t = t(3t−4) − (3/2)t² + 3t = 3t² − 4t − 1.5t² + 3t = (3/2)t² − t = t(3t−2)/2。因 t∈(1,2)，3t−2>1>0 且 t>0，故 g(t)>0。回代互验：数值解 φ(t)=0 得 t≈1.459325，代入 t(3t−2)/2≈1.735118；原式 t ln t −1.5t²+3t ≈ 1.459325×0.378 −3.196 +4.378 ≈ 1.735117，两者在舍入误差内一致，且 φ(t)≈0 已复核。
题3 (1) h′(x)=e^x−2ax。由 h′(x₀)=0 得 e^{x₀}=2a x₀；由 h(x₀)=0 得 e^{x₀}=a x₀²。两式相除（x₀>0，a>0）：2a x₀ = a x₀² ⟹ x₀=2。代回 e²=2a·2 ⟹ a=e²/4。回代：a x₀² = (e²/4)·4 = e²，与 2a x₀ = 2·(e²/4)·2 = e² 一致。
题3 (2) a=e²/4>0，h′(x)=e^x − (e²/2)x。令 ψ(x)=h′(x)，ψ′(x)=e^x−e²/2，ψ′(2)=e²−e²/2=e²/2>0，且 ψ′(x)=0 的根为 x=2−ln2≈1.307；ψ 在该点取极小后递增，ψ(2)=0，且 ψ(0)=1>0、ψ(1)=e−e²/2≈2.718−3.695<0，故 ψ 在 (0, x₁) 与 (2,+∞) 之外还有一个零点 x₁∈(0,1)。因此 h 在 (0,x₁) 递增、(x₁,2) 递减、(2,+∞) 递增，x=2 是极小值点（注意不是唯一极值点，但满足题设「极小值点为 x₀=2」）。验算：h(2)=e²−(e²/4)·4=0，与题设一致。
四、采分点对照
| 题号 | 答案 | 采分点构成 |
|---|---|---|
| 题1 (1) | 唯一根 x₀∈(0,1) | 求导 1 分；用 f″>0 证 f′ 严格单调 1 分；端点异号 1 分；唯一性结论 1 分 |
| 题1 (2) | f(x₀)=1−2x₀<0 | 写出替换式 e^{x₀}=2 得 2 分；整体代入化简 1 分；不用解值判符号 1 分；回代验算 1 分 |
| 题2 (1) | 唯一根 t∈(1,2) | 求导 1 分；由 φ′<0 证严格递减 1 分；φ(1)>0、φ(2)<0 各 1 分；唯一性结论 1 分 |
| 题2 (2) | g(t)=t(3t−2)/2>0 | 写出 ln t=3t−4 得 2 分；代换化简 1 分；由区间判正 1 分；数值回代互验 1 分 |
| 题3 (1) | x₀=2，a=e²/4 | 列出两个条件式各 1 分；相除解出 x₀ 2 分；回代求 a 1 分；验算一致性 1 分 |
| 题3 (2) | 极小值点确为 2 | ψ′ 分析 1 分；指出存在另一零点 x₁ 1 分；写出单调区间 1 分；h(2)=0 回代 1 分 |
五、高频易错点
- 硬解 f′(x)=0：含 e^x 与多项式混合的方程一般解不出，硬解就走死胡同。
- 把替换式记错：必须严格来自 f′(x₀)=0，写成 e^{x₀}=x₀ 之类会让后面全错。
- 代换后不回代验算，化简错了也看不出来。
- 区间估计只写「大概在 1 和 2 之间」，不给端点异号的计算依据。
- 题3 以为「极小值点唯一」就是「只有一个极值点」，漏掉 (0,1) 内的另一个零点。
六、小结与自查清单
| 零点方程形态 | 替换式 | 代换后的效果 | 自编例题 |
|---|---|---|---|
| e^{x₀}=常数 | 直接把 e^{x₀} 换成常数 | f(x₀) 降为一次式 | 题1：e^{x₀}=2 → 1−2x₀ |
| ln x₀ = 多项式 | 把 ln x₀ 整体换掉 | g(t) 降为二次式 | 题2：ln t=3t−4 → t(3t−2)/2 |
| 两条件联立 | 相除消去超越项 | 先解出 x₀ 再求参数 | 题3：x₀=2，a=e²/4 |
- □ 先用 f″ 或单调性证明零点唯一，再用端点异号夹区间。
- □ 把 f′(x₀)=0 单独抄一行当替换式，后面每一步都指着它用。
- □ 代换后把 f(x₀) 化到不含超越式为止，再判断符号或范围。
- □ 所有化简结果都回代原式验一遍，数值题另做一次近似互算。
- □ 区间估计写出端点函数值的具体数值，不用「显然」「大概」。
隐零点考的不是解方程，是承认解不出之后还能不能往下推：零点方程给替换式，替换式把超越项消掉，区间端点把范围夹住。三步里最容易被跳过的是「证唯一」和「回代验算」，而它们恰恰是答案能不能站住的地方。本组三题的函数式与数据均经回代互验，数值自洽。本组函数式、数据与解析均为原创自编仿真内容。
