联招物理·实验题：研究平抛运动与求初速度

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

两个方向分开看：水平 x = v₀t（匀速），竖直 y = ½gt²（自由落体，y 轴向下为正）。消去 t = x/v₀ 得轨迹方程 y = g x²/(2v₀²)，即 y 与 x² 成正比——这就是判据：把描出的点算 y/x²，若为常数，轨迹就是抛物线，该常数等于 g/(2v₀²)。

求 v₀ 有两条独立路径：路径一由常数 k = y/x² = g/(2v₀²) 反解 v₀ = √(g/(2k))；路径二取某一点先由 y = ½gt² 求 t = √(2y/g)，再 v₀ = x/t。两路结果必须一致。操作上还要注意坐标原点必须取小球球心在槽口末端的位置、木板竖直、每次从斜槽同一位置由静止释放。下面坐标与数据为自编示意数值，并做两路闭环，不代表真实测量记录。

二、题目呈现

题目

用描点法研究平抛运动。以抛出点 O 为原点，x 轴水平向右、y 轴竖直向下，取 g = 10.0 m/s²。自编示意描点数据如下（已换算为国际单位）：

自编数据表

| 点 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| x / m | 0.100 | 0.200 | 0.300 | 0.400 | 0.500 |

| y / m | 0.0125 | 0.0500 | 0.1125 | 0.200 | 0.3125 |

设问

(1) 计算各点的 y/x²，说明轨迹是否为抛物线，并写出轨迹方程；
(2) 用两条独立路径求初速度 v₀，并互验；
(3) 若初速度变为 4.00 m/s（加倍）而 g 不变，求 x = 0.400 m 处的 y′，并说明 y 与 v₀ 的关系；
(4) 说明实验中「原点取球心位置」「木板竖直」「每次从同一位置静止释放」三项各自的作用。

三、分步解析

(1) 轨迹判定与方程　逐点算 k = y/x²（单位 m⁻¹）：
点1：0.0125/0.0100 = 1.25；点2：0.0500/0.0400 = 1.25；点3：0.1125/0.0900 = 1.25；点4：0.200/0.1600 = 1.25；点5：0.3125/0.2500 = 1.25。
五组比值完全相同 ⇒ y ∝ x²，轨迹为抛物线，且 k = 1.25 m⁻¹。
轨迹方程：y = 1.25 x²（SI 单位）。
由理论式 y = g x²/(2v₀²) 知 k = g/(2v₀²)，与数据一致（见 (2) 反解）。
自检：所有点均满足 x 等间距 0.100 m 时 y 呈 1:4:9:16:25 的平方序列（0.0125 : 0.0500 : 0.1125 : 0.200 : 0.3125 = 1:4:9:16:25）✓，这正是「等时间间隔下落位移比」的体现。
采分点：逐点算比值 2 分、判定抛物线 1 分、轨迹方程 1 分、平方序列自检 1 分。

(2) 两路求 v₀ 并互验　路径一（由 k 反解）：k = g/(2v₀²) = 1.25 ⇒ v₀² = g/(2k) = 10.0/(2 × 1.25) = 10.0/2.50 = 4.00 ⇒ v₀ = 2.00 m/s。
路径二（由单点求时间）：取点4，y = 0.200 m，由 y = ½gt² 得 t = √(2y/g) = √(0.400/10.0) = √0.0400 = 0.200 s；于是 v₀ = x/t = 0.400/0.200 = 2.00 m/s ✓。
互验三处：① 两路 v₀ 完全一致 ✓；② 由 v₀ = 2.00 反算五点的 t = x/v₀ 分别为 0.050、0.100、0.150、0.200、0.250 s，再算 y = ½×10×t² 分别得 0.0125、0.0500、0.1125、0.200、0.3125 m，与表中五组数据逐点吻合 ✓；③ 水平方向 x/t 恒为 2.00 m/s ✓，竖直方向 y/t² 恒为 5.00 m/s² = g/2 ✓，两个方向各自成立，说明分解正确。
采分点：写出轨迹理论式 1 分、路径一 2 分、路径二 2 分、三处互验各 1 分。

(3) 初速度加倍　由 y = g x²/(2v₀²) 知在 x、g 不变时 y ∝ 1/v₀²。v₀′ = 4.00 m/s = 2v₀ ⇒ y′ = y/4 = 0.200/4 = 0.0500 m。
回代验算（两路）：① 轨迹式 k′ = g/(2v₀′²) = 10.0/(2×16.0) = 0.3125 m⁻¹ ⇒ y′ = 0.3125 × (0.400)² = 0.3125 × 0.160 = 0.0500 m ✓；② 由时间：t′ = x/v₀′ = 0.400/4.00 = 0.100 s ⇒ y′ = ½ × 10.0 × (0.100)² = 5.00 × 0.0100 = 0.0500 m ✓。
关系说明：同一水平位置处，初速度越大，飞到该处所需时间越短，竖直下落距离按速度平方的倒数减小；轨迹变「更平」。这不是线性减半，而是变为 1/4。
采分点：写出 y ∝ 1/v₀² 1 分、算出 0.0500 m 1 分、两路回代各 1 分、关系说明 1 分。

(4) 三项操作的作用　① 原点取小球球心在槽口末端的位置：平抛的起点是球心离开槽口的那一刻，若以槽口下沿或斜槽端点为原点，会引入一个固定的竖直偏移，使 y 与 x² 不再成正比（拟合直线出现截距），算出的 v₀ 系统偏小/偏大。
② 木板（坐标纸）竖直、x 轴水平：本实验的两个方向必须严格对应水平与竖直；木板倾斜会把重力分量混入 x 方向，x 不再是匀速，y/x² 也不会是常数。
③ 每次从斜槽同一位置由静止释放：保证每次抛出的初速度大小与方向完全相同，多次描出的点才属于同一条轨迹；若释放位置不同，各点来自不同抛物线，根本无法拟合。
补充：斜槽末端切线须水平（可用小球静止在末端不滚动来检验）；描点时让小球恰好穿过卡片小孔，视线与卡片垂直以减小视差；不必测小球质量，也不必测斜槽高度。
采分点：三项各 2 分（作用＋失真后果），补充要点 1 分。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 把 y 轴取成向上为正却仍写 y = ½gt²，符号混乱；本实验按向下为正处理最省事。
• 只算一两个点的 y/x² 就宣布成正比，五点全算才能排除偶然。
• 由单点求 v₀ 时忘记先由 y 求 t，直接把 x 当 v₀ 或把 t 当成 x/g。
• 初速度加倍时把 y 写成减半（应为 1/4），漏掉平方关系。
• 把坐标原点取在槽口下沿，导致拟合出现非零截距却不解释原因。

六、小结与自查清单

• □ 先声明 y 轴向下为正，写出 x = v₀t 与 y = ½gt² 两条原始式。
• □ 把五组 y/x² 全算一遍列成小表，确认是常数再写轨迹方程。
• □ 求 v₀ 走两条路（由 k 反解、由单点求 t），并逐点反算 y 互验。
• □ 检查 x/t 与 y/t² 是否各自为常数，那是分解正确的双证据。
• □ 实验操作三项各写清「不满足会往哪边失真」，并点明原点取球心。

平抛描点题的全部说服力在「两路互验」：由 y/x² = 1.25 反解出 v₀ = 2.00 m/s，再由某点的 y 求 t、用 x/t 又得到 2.00 m/s；再用 v₀ 反算五点，逐点都对上。水平方向 x/t 恒定、竖直方向 y/t² 恒定，分解才算真的成立。本题五组坐标与初速度均为自编示意数据，不代表真实测量记录。