联招数学·解三角形：面积的最值与取值范围

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

三条起步式要随手能用：S = ½bc sinA（面积）、a² = b² + c² − 2bc cosA（余弦定理）、b² + c² ≥ 2bc（基本不等式，取等 b = c）。把余弦定理代进面积式，最值问题就变成「求 bc 的界」——这是本组三题共用的骨架。

四个不能跳的步骤：①统一到 bc；②用约束求 bc 的上界或范围；③写出取等条件 b = c；④回代验三角形是否存在（等号成立时三边能否构成三角形、角是否对得上）。第 ④ 步最常被漏，也是「算出了范围却取不到端点」的根源。下面边长与角度均为自编并逐处回代。

二、题目呈现

题1

在 △ABC 中，a = 2，A = 60°。求 △ABC 面积 S 的最大值，并求出取最大值时的 b、c。

题2

在 △ABC 中，b + c = 4，A = 60°。求面积 S 的取值范围，并说明端点能否取到。

题3（单选）

在 △ABC 中，a = 2，A = 60°，则 b + c 的最大值为（　）

A. 2　B. 2√3　C. 4　D. 4√3

三、分步解析

题1　解法一（余弦定理 + 基本不等式）：由 a² = b² + c² − 2bc cos60° 得 4 = b² + c² − bc。又 b² + c² ≥ 2bc，故 4 ≥ 2bc − bc = bc，即 bc ≤ 4。
S = ½ bc sin60° = ½ · bc · (√3/2) = (√3/4) bc ≤ (√3/4) × 4 = √3。
取等条件：b² + c² = 2bc ⇒ b = c；代回 4 = 2b² − b² = b² ⇒ b = c = 2。
存在性回代验算：a = 2、b = c = 2、A = 60° 代入余弦定理 a² = 4 + 4 − 2·2·2·(1/2) = 8 − 4 = 4 ✓；此时三角形为边长 2 的等边三角形，面积 = (√3/4)·2² = √3 ✓，与最值一致。
解法二（正弦定理互验）：b + c = (a/sinA)(sinB + sinC)，B + C = 120°，故 sinB + sinC = 2 sin60° cos((B−C)/2) = √3 cos((B−C)/2) ≤ √3，等号 B = C = 60°；此时 b = c = a = 2，S = √3 ✓。两法一致。

题2　由 b + c = 4 与基本不等式：bc ≤ ((b+c)/2)² = 4，取等 b = c = 2。故 S = (√3/4) bc ≤ √3，上界可取到（b = c = 2，此时由余弦定理 a² = 4 + 4 − 4 = 4 ⇒ a = 2，等边三角形，存在 ✓）。
下界要查三角形存在性：由余弦定理 a² = b² + c² − bc = (b+c)² − 3bc = 16 − 3bc。三角形要求 |b − c| < a < b + c：
① a < b + c = 4 ⇒ 16 − 3bc < 16 ⇒ bc > 0 ✓（恒成立）；
② |b − c| < a ⇒ (b−c)² < a² = 16 − 3bc；而 (b−c)² = (b+c)² − 4bc = 16 − 4bc，代入得 16 − 4bc < 16 − 3bc ⇒ −4bc < −3bc ⇒ bc > 0 ✓（恒成立）。
故只要 b、c > 0 且 b + c = 4，三角形始终存在，bc 可无限趋近于 0（b → 0⁺ 或 c → 0⁺），但不能等于 0（边长须为正，且 bc = 0 时 a = 4 = b + c 退化为线段）。
所以 S 的取值范围为 (0, √3]，左端点取不到、右端点可取到。
数值回代验算：取 b = c = 2 ⇒ S = √3 ✓（上端点）；取 b = 0.4、c = 3.6 ⇒ bc = 1.44，a² = 16 − 4.32 = 11.68 ⇒ a ≈ 3.42，检验 |b−c| = 3.2 < 3.42 < 4 ✓，S = (√3/4)×1.44 ≈ 0.624 > 0 ✓，落在开区间内。

题3　由正弦定理 b + c = (a/sinA)(sinB + sinC)。a/sinA = 2/(√3/2) = 4/√3。
B + C = 120°，故 sinB + sinC = 2 sin((B+C)/2) cos((B−C)/2) = 2 sin60° cos((B−C)/2) = √3 cos((B−C)/2) ≤ √3，等号在 B = C = 60° 时取到。
故 b + c ≤ (4/√3) × √3 = 4，选 C。
取等回代验算：B = C = 60° 时三角形等边，b = c = a = 2，b + c = 4 ✓；代回题1 的结论也一致（此时 bc = 4、S = √3）。
另一路互验（余弦定理）：由 4 = b² + c² − bc，令 s = b + c，则 b² + c² = s² − 2bc，代入得 4 = s² − 3bc ⇒ bc = (s² − 4)/3。又 bc ≤ s²/4 ⇒ (s² − 4)/3 ≤ s²/4 ⇒ 4s² − 16 ≤ 3s² ⇒ s² ≤ 16 ⇒ s ≤ 4 ✓，两法一致。

三题关系小结　题1 是定边定角（a、A 固定）求 bc 上界；题2 是定两边和（b+c、A 固定）求范围，多了一步「端点能否取到」的存在性检验；题3 是定边定角求两边和，用正弦定理把角变量收进 cos((B−C)/2)。三题取等全落在 b = c（等边），因此三处数值 √3、4、2 能互相印证。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 由 a² = b² + c² − bc 直接写成 bc ≤ 4 却不说用了 b²+c² ≥ 2bc，跳步丢分。
• 求出 bc 上界后不验证取等时三角形是否存在（题2 的左端点正是被这一步拦住的）。
• 题2 把范围写成 [0, √3]：bc = 0 时 a = b + c 退化，边长也不能为零，左端点必须开。
• 正弦定理一路把 sinB + sinC 误写成 2 sin60°（漏 cos((B−C)/2)），或忘记 B+C = 120°。
• 题3 选 B（2√3）：把 a/sinA = 4/√3 与 √3 相乘时算错，或误把 b+c 当成 a。

六、小结与自查清单

• □ 先把余弦定理写成含 bc 的形式，再用 b²+c² ≥ 2bc 定上界。
• □ 面积一律用 S = ½bc sinA，别临时换成底乘高再绕回来。
• □ 写出取等条件 b = c，并代回余弦定理验证三边与角自洽。
• □ 求范围时单独检验两条三角形不等式，确定端点开闭。
• □ 角变量一路用 B+C = 180° − A 与和差化积，最后用另一路互验。

面积最值题的骨架很固定：余弦定理把已知边角挤成 bc 的约束，基本不等式给出 bc 的界，S = ½bc sinA 把界翻译成面积。真正拉开差距的是最后两下——写出取等条件、回代验证三角形真的存在；题2 左端点为什么开，就藏在这一步里。本组边长、角度与范围均为原创自编，并做了两法互验。