联招物理·实验题：测定金属的电阻率

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

一条主公式：R = ρL/S，其中 S = πd²/4，故 ρ = RS/L = πd²R/(4L)。三个直接测量量里，d 是平方项，它的相对误差会以 2Δd/d 传递到 ρ，所以直径要多次测量取平均、且要用螺旋测微器而不是游标卡尺；L 是接入电路有效长度（两接线点之间），不是电阻丝全长。

伏安法接法判断用相对比较法：待测电阻 R_x 与 R_A（电流表内阻）、R_V（电压表内阻）比。若 R_x ≪ R_V 而与 R_A 可比，电流表外接（电压表分流可忽略）；若 R_x ≫ R_A，内接（电流表分压可忽略）。下面器材参数与数据为自编示意数值，且做了闭合回代，不代表真实测量记录。

二、题目呈现

题目

用伏安法测一段均匀电阻丝的电阻率。自编示意数据如下：螺旋测微器测得电阻丝直径 d = 0.400 mm；接入电路的有效长度 L = 50.0 cm；电压表读数 U = 2.50 V、电流表读数 I = 0.500 A；电流表内阻 R_A = 0.50 Ω，电压表内阻 R_V = 3.00 kΩ。取 π = 3.14。

(1) 由 U、I 求电阻丝电阻 R，计算横截面积 S 与电阻率 ρ，并回代验算；

(2) 判断本实验应采用电流表内接还是外接，给出定量依据，并说明另一种接法会带来多大的系统偏差；

(3) 若直径测量值偏大 1.0%，求 ρ 的相对误差；若把该电阻丝均匀拉长到原长的 2 倍（体积不变、材料不变），求拉长后的电阻 R′ 与电阻率 ρ′。

补充问

(4) 说明为什么长度 L 必须量「接入电路的有效长度」，以及为什么直径要在多处、多方向各测一次取平均。

三、分步解析

(1) 求 ρ　R = U/I = 2.50 / 0.500 = 5.00 Ω。
d = 0.400 mm = 4.00×10⁻⁴ m；S = πd²/4 = 3.14 × (4.00×10⁻⁴)² / 4 = 3.14 × 1.60×10⁻⁷ / 4 = 1.256×10⁻⁷ m²。
ρ = RS/L = 5.00 × 1.256×10⁻⁷ / 0.500 = 1.256×10⁻⁶ Ω·m ≈ 1.26×10⁻⁶ Ω·m。
回代验算：R = ρL/S = (1.256×10⁻⁶ × 0.500)/(1.256×10⁻⁷) = 5.00 Ω ✓；再用合并式 ρ = πd²R/(4L) = 3.14 × 1.60×10⁻⁷ × 5.00 / (4 × 0.500) = 2.512×10⁻⁶/2.00 = 1.256×10⁻⁶ Ω·m ✓，两式一致。
采分点：R=U/I 1 分、单位换算 1 分、S=πd²/4 1 分、ρ=RS/L 2 分、数值与单位 1 分、回代 1 分。

(2) 接法判断　应采用电流表外接法（电压表直接并在电阻丝两端，电流表放在干路）。定量依据：
① 外接时电压表分流比 ≈ R_x/R_V = 5.00 / 3000 ≈ 0.17%，即电流表读数中只有约 0.17% 来自电压表支路，可忽略；
② 内接时电流表分压比 ≈ R_A/R_x = 0.50 / 5.00 = 10%，测得的「电阻」实为 R_x + R_A = 5.50 Ω，比真值偏大 10%。
两者相差近 60 倍，故外接远优于内接。另一接法的系统偏差：内接使 R_测 = 5.50 Ω，进而 ρ_测 = 5.50 × 1.256×10⁻⁷ / 0.500 = 1.382×10⁻⁶ Ω·m，偏大 10%（ρ 与 R 成正比，相对误差相同）。
采分点：写出判断 1 分、两个比值各 1 分、说明偏大方向 1 分、算出 10% 偏差 1 分。

(3) 误差传递与拉长　直径误差：由 ρ = πd²R/(4L) 知 ρ ∝ d²，故 Δρ/ρ = 2·Δd/d = 2 × 1.0% = +2.0%（直径偏大 ⇒ ρ 偏大 2.0%）。同理若 L 偏大 1% 则 ρ 偏小 1%，若 R 偏大 1% 则 ρ 偏大 1%——只有 d 的系数是 2，这就是必须精测直径的原因。
拉长后：体积不变 V = SL = S′L′，L′ = 2L ⇒ S′ = S/2。材料不变 ⇒ ρ′ = ρ = 1.256×10⁻⁶ Ω·m。
R′ = ρL′/S′ = ρ·(2L)/(S/2) = 4ρL/S = 4R = 20.0 Ω。
回代验算：R′ = 1.256×10⁻⁶ × 1.000 / (6.28×10⁻⁸) = 20.0 Ω ✓；且 R′/R = 4 = (L′/L)² 与「体积不变时 R ∝ L²」一致 ✓。
采分点：写出 ρ∝d² 1 分、2.0% 结论 1 分、说明 ρ′ 不变 1 分、S′=S/2 1 分、R′=4R 2 分、回代 1 分。

(4) 操作理由　有效长度：R = ρL/S 中的 L 是电流实际流过的那段电阻丝长度，即两个接线点（夹子／接线柱）之间的距离；若量了整根丝的全长，把未接入、被夹在夹具里或悬空的部分也算进去，会使 L 偏大、算出的 ρ 偏小。多测直径：① 电阻丝未必处处等粗，可能存在椭圆或局部粗细不均，多处、多方向（互相垂直的两个方向）测量取平均可减小偶然误差并抵消椭圆度；② 由 (3) 知 d 的相对误差在 ρ 中被放大 2 倍，因此直径是三个量里最值得重复测的那个。
采分点：L 的物理含义 1 分、量错方向 1 分、多处多方向 1 分、平方放大呼应 1 分。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 把 d = 0.400 mm 直接代入 0.400 而不换成米，S 与 ρ 会错好几个数量级。
• 把 S 写成 πd²（漏 /4）或用 πr² 却把 d 当 r 代入。
• 把电阻丝全长当有效长度 L，或把内接法测得的 R_x+R_A 直接当 R 去算 ρ。
• 误差传递写成 Δρ/ρ = Δd/d（漏掉平方的系数 2）。
• 拉长题误答「ρ 变大」——电阻率是材料属性，温度与材料不变就不变；或把 R′ 算成 2R 而不是 4R（漏掉 S′=S/2）。

六、小结与自查清单

• □ 先把 mm、cm 换成 m，再写 S = πd²/4 与 ρ = RS/L 的原始公式。
• □ 用 R = ρL/S 或合并式各回代一次，确认 ρ 的数值闭环。
• □ 接法判断给出两个相对比值，不靠「大电阻内接」的口诀硬套。
• □ 误差题明确哪个量带平方系数，写清偏大还是偏小。
• □ 拉长题先由体积不变得 S′，再算 R′；牢记 ρ 只由材料与温度决定。

测电阻率把「测三个量、算一个量」的实验逻辑压得很清楚：d 因为带平方而最娇贵，L 因为要取有效段而最容易量错，R 因为接法不同会带进 10% 的系统偏差。把三条各回代一次，答案自己就站得住了。本题器材参数、读数与结果均为自编示意数据，不代表真实测量记录。