联招数学·三角形中线、角平分线与正余弦定理综合 - 例题精讲

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

例题精讲 · 数学导数与解三角形

一、考点定位与做题顺序

两条通法先记牢：中线用阿波罗尼斯定理 m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4，或向量法 AM = (AB + AC)/2；角平分线用角平分线定理 BD:DC = c:b 先分段，再用长度公式 t_a² = bc[1 − a²/(b+c)²]，或 cos 半角公式 t_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c)。

凡是求长度，务必用第二法互验：向量法与余弦定理、或分段后用余弦定理，两条路算到同一个数才放心。下面三题均为自编题，数值自拟。

二、题目呈现

题1 中线长（自编）

在 △ABC 中，AB = c = 5，AC = b = 7，BC = a = 8。设 M 为 BC 中点，求中线 AM 的长，并用两种方法互验。

题2 角平分线长（自编）

在 △ABC 中，a = 7，b = 5，c = 3（与角度判定常见的一组自编边值同型）。设 AD 为角 A 的平分线交 BC 于 D，求 BD、DC 与 AD 的长。

题3 综合（自编）

在 △ABC 中，b = 6，c = 4，A = 60°。求：① a；② BC 边上的中线长 m_a；③ △ABC 的面积 S；④ 角 A 的平分线长 t_a。

三、分步解析

题1 法一（阿波罗尼斯）　m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4 = (2×49 + 2×25 − 64)/4 = (98 + 50 − 64)/4 = 84/4 = 21 → AM = √21 ≈ 4.58。

题1 法二（余弦定理互验）　先求 cosB：cosB = (a² + c² − b²)/(2ac) = (64 + 25 − 49)/(2×8×5) = 40/80 = 1/2 → B = 60°。在 △ABM 中，BM = a/2 = 4，AB = 5，夹角 B = 60°，由余弦定理：
AM² = AB² + BM² − 2·AB·BM·cosB = 25 + 16 − 2×5×4×(1/2) = 41 − 20 = 21 → AM = √21 ✓ 与法一一致。
（第三法向量：AM = (AB+AC)/2，|AM|² = ¼(|AB|²+|AC|²+2AB·AC)，而 AB·AC = bc·cosA；由 cosA = (49+25−64)/(2×7×5)=10/70=1/7，得 |AM|² = ¼(25+49+2×5×7×1/7) = ¼(74+10) = 21 ✓。三法同值。）

题2 分段　角平分线定理：BD/DC = AB/AC = c/b = 3/5，且 BD + DC = a = 7。故 BD = 7×3/8 = 21/8 = 2.625，DC = 7×5/8 = 35/8 = 4.375。

题2 求 AD（两法）　法一（长度公式）：t_a² = bc[1 − a²/(b+c)²] = 5×3×[1 − 49/64] = 15 × 15/64 = 225/64 → AD = 15/8 = 1.875。
法二（余弦定理互验）：先求 cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) = (25 + 9 − 49)/(2×5×3) = (−15)/30 = −1/2 → A = 120°，cos(A/2) = cos60° = 1/2。半角公式 t_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c) = 2×5×3×(1/2)/8 = 15/8 ✓ 一致。
再用分段后的 △ABD 核对：AB=3，BD=21/8，角 B 由 cosB = (49+9−25)/(2×7×3) = 33/42 = 11/14；AD² = 9 + (21/8)² − 2×3×(21/8)×(11/14) = 9 + 441/64 − (693/56) ≈ 9 + 6.891 − 12.375 = 3.516 ≈ 225/64 = 3.516 ✓。三路同值。

题3 ①　余弦定理：a² = b² + c² − 2bc cosA = 36 + 16 − 2×6×4×(1/2) = 52 − 24 = 28 → a = 2√7 ≈ 5.29。

题3 ②　m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4 = (72 + 32 − 28)/4 = 76/4 = 19 → m_a = √19 ≈ 4.36。互验（向量法）：AB·AC = bc cosA = 6×4×1/2 = 12，|AM|² = ¼(c² + b² + 2bc cosA) = ¼(16+36+24) = 19 ✓。

题3 ③　S = ½ bc sinA = ½ × 6 × 4 × (√3/2) = 6√3 ≈ 10.39。互验（海伦公式）：p = (a+b+c)/2 = (2√7+10)/2 = 5+√7 ≈ 7.646；S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)] = √[7.646×2.354×1.646×3.646] ≈ √108.0 ≈ 10.39 ✓（精确值同为 6√3）。

题3 ④　t_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c)，A/2 = 30°，cos30° = √3/2 → t_a = 2×6×4×(√3/2)/10 = 24√3/10 = 12√3/5 ≈ 4.16。互验（长度公式）：t_a² = bc[1 − a²/(b+c)²] = 24×[1 − 28/100] = 24×0.72 = 17.28 → t_a = √17.28 ≈ 4.157；而 (12√3/5)² = 144×3/25 = 432/25 = 17.28 ✓ 一致。

互验小结　三题都用「公式法为主 + 余弦定理/向量法为辅」双路径：题1 三法同得 √21；题2 三路同得 15/8；题3 四个量各有第二法核对（向量法验中线、海伦验面积、长度公式验角平分线）。凡求线段长，答案里写出公式 → 代入 → 第二法回验三步，既防算错也拿满步骤分。

四、采分点对照

题号	答案	采分点
题1	AM=√21≈4.58	阿波罗尼斯公式 2 分；代入 1 分；求 cosB 1 分；余弦定理互验 2 分；结论 1 分
题2 分段	BD=21/8，DC=35/8	角平分线定理 2 分；比例与和 1 分；两值各 1 分
题2 AD	AD=15/8=1.875	长度公式 2 分；求 A=120° 与半角 1 分；两法互验 2 分；分段余弦核对 1 分
题3 ①	a=2√7	余弦定理 2 分；结果 1 分
题3 ②	m_a=√19	公式 1 分；向量法互验 2 分
题3 ③	S=6√3	面积公式 1 分；海伦互验 1 分
题3 ④	t_a=12√3/5≈4.16	半角公式 2 分；长度公式互验 2 分

五、高频易错点

中线公式记成 (b²+c²−a²)/4，漏掉系数 2，或把 a 与 b、c 对错位。
向量法写 AM=(AB+AC)/2 却把 |AM|² 算成 ¼(|AB|²+|AC|²)，漏掉内积项 2AB·AC。
角平分线定理把 BD:DC 写成 b:c（应为 c:b，即邻边 AB:AC）。
求 AD 时直接用 A 而不是 A/2 的余弦，半角漏掉。
题2 cosA=−1/2 时把 A 写成 60°，导致半角与长度全错。
面积题忘记乘 ½，或把 sin60° 写成 1/2。
只给一条路径的结果，不写第二法互验，算错也看不出来。
结果不化简（如 15/8 写成小数却不算准），或不带根号精确值。

六、小结与自查清单

求什么	主公式	互验路径
中线 m_a	m_a²=(2b²+2c²−a²)/4	向量 AM=(AB+AC)/2；△ABM 余弦定理
角平分线分段	BD:DC=c:b，BD+DC=a	按比例分配后回加得 a
角平分线 t_a	t_a=2bc·cos(A/2)/(b+c)	t_a²=bc[1−a²/(b+c)²]；△ABD 余弦定理
面积	S=½bc·sinA	海伦公式
边 a	a²=b²+c²−2bc·cosA	正弦定理比值核对

□ 中线题先写阿波罗尼斯公式，再用向量或 △ABM 余弦定理验。
□ 角平分线先按 c:b 分段，再求长度，别跳分段。
□ 半角一律先由 cosA 求 A，再取 A/2 的余弦。
□ cos 为负时角在第二象限，别取锐角。
□ 向量法务必保留内积项 2AB·AC = 2bc·cosA。
□ 每个长度至少两种路径同值才收笔。
□ 结果给精确值（根号/分数），需要时附近似值。

中线与角平分线的题看着杂，其实就两条路：向量/阿波罗尼斯管中线，比例分段 + 半角公式管角平分线。真正保分的是「再走一条路互验」——题1 三法同得 √21、题2 三路同得 15/8，算错立刻露馅。把双路径写成习惯，这类题就从硬算变成了核对。本组题目与数值均为原创自编仿真内容。