题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
装置：斜槽末端水平，入射球 m₁ 从斜槽滚下，不放被碰球时落在 P；放上被碰球 m₂（静止于支柱）后，碰后 m₁ 落在 M、m₂ 落在 N。O 为抛出点在纸上的竖直投影，测 OP、OM、ON。
核心推导：碰前后各球都从同一高度做平抛，飞行时间 t 相同，故 v = x/t。动量守恒 m₁v₀ = m₁v₁ + m₂v₂ 两边同乘 t 得 m₁·OP = m₁·OM + m₂·ON——不用测时间、不用测速度，只量水平位移。这是本题最大的采分点。下面数据为自编。
二、题目呈现
题设（自编）
用平抛法验证动量守恒。测得 m₁ = 0.020 kg、m₂ = 0.010 kg；在白纸上确定 O 点后，用圆规画出各落点的最小圆，取圆心得：OP = 29.5 cm、OM = 10.0 cm、ON = 39.0 cm（均已换算为从 O 起算的水平距离）。
(1) 写出实验原理，说明为什么可以把动量守恒式写成 m₁·OP = m₁·OM + m₂·ON，并指出 t 为什么能约掉。
(2) 代入数据检验动量是否守恒，计算相对偏差并判断是否在误差允许范围内。
(3) 写出本实验对两球质量与半径的要求，并说明为什么必须满足；说明斜槽末端为什么要调水平、入射球为什么每次从同一位置由静止释放。
(4) 指出下列操作的影响：① 被碰球支架略高，使碰后两球抛出高度不同；② 用落点的最小圆中心而非某一次落点；③ 入射球质量小于被碰球；④ 斜槽末端不水平。
三、分步解析
(1) 原理 碰前：m₁ 从斜槽滚下以 v₀ 从末端水平飞出，落点 P，OP = v₀t。碰后：m₁ 以 v₁ 飞出落 M（OM = v₁t），m₂ 以 v₂ 飞出落 N（ON = v₂t）。三球（三种情形）均从同一高度做平抛，竖直方向 h = ½gt² 相同，故飞行时间 t = √(2h/g) 完全相同。动量守恒 m₁v₀ = m₁v₁ + m₂v₂ 两边乘 t：
m₁(v₀t) = m₁(v₁t) + m₂(v₂t) → m₁·OP = m₁·OM + m₂·ON。
因此只需测三个水平位移与两球质量，不必测时间也不必测速度；t 能约掉的前提是「抛出点高度相同且初速度水平」。答题必须写出 h 相同 → t 相同这一步，只背公式不给满分。
(2) 检验 左边（碰前）：m₁·OP = 0.020 × 29.5 = 0.590 kg·cm。右边（碰后）：m₁·OM + m₂·ON = 0.020×10.0 + 0.010×39.0 = 0.200 + 0.390 = 0.590 kg·cm。
两者相等，相对偏差 = |0.590 − 0.590| / 0.590 = 0%（在自编数据下完全吻合；实际实验中落点离散、读数与摩擦会带来百分之几的偏差，一般 ≤5% 即认为在误差允许范围内验证成立）。
速度回验（取 t 约 0.30 s 量级仅作示意）：v₀ = OP/t、v₁ = OM/t、v₂ = ON/t，数值上 m₁v₀ = m₁v₁ + m₂v₂ 与位移式等价 ✓。另可核动能：碰前 ∝ m₁OP² = 0.020×870.25 = 17.41，碰后 ∝ 0.020×100 + 0.010×1521 = 2.00 + 15.21 = 17.21，略小（约 1.1%），说明这是近似弹性碰撞、有微小动能损失，但动量仍守恒——动量守恒不要求动能守恒，这一点常被追问。
(3) 条件 质量：必须 m₁ > m₂（入射球质量大于被碰球）。理由：若 m₁ < m₂，一维弹性碰撞后入射球会反弹向后，落点落在 O 点左侧甚至撞回斜槽，OM 不再是正向水平位移，表达式与测量都失效；m₁ > m₂ 可保证碰后 m₁ 仍向前运动。半径：两球半径应相等（或至少使球心等高），保证碰撞为对心正碰、碰后速度均沿水平方向，且两球从同一高度抛出（否则 t 不同，t 约不掉）。斜槽末端水平：保证球离开时初速度水平，做真正的平抛；若末端上翘或下倾，初速度有竖直分量，h 与 t 不再由同一公式给出，OP、OM、ON 不再正比于水平速度。同一位置由静止释放：保证每次碰前速度 v₀ 相同，使 P 点可重复、多次落点能取平均圆心；否则各次 v₀ 不同，落点散乱无法定 P。
(4) 误差逐项 ① 支架略高使抛出高度不同：两球飞行时间 t₁ ≠ t₂，位移不再与速度成同一比例，m₁·OP = m₁·OM + m₂·ON 的前提被破坏，检验式本身失效——属方案性错误，不是普通读数误差。② 用最小圆中心取落点：多次落点有离散，取最小包容圆的圆心相当于取平均落点，减小偶然误差，是正确做法；若只取某一次落点，随机偏差会直接代入。③ m₁ < m₂：入射球碰后反弹，OM 方向反了甚至测不到，表达式失效（见(3)），属条件错误。④ 末端不水平：初速度带竖直分量，不再共用一个 t，且水平位移与水平初速度的比例失真，动量检验式不成立；同时落点系统性偏移，属方案性错误。
守恒回验 把位移式除以 t 复原为速度式：m₁(OP/t) = m₁(OM/t) + m₂(ON/t)，与动量守恒原式逐项对应 ✓；再用自编数据反推若动量守恒成立，ON 应为 (m₁OP − m₁OM)/m₂ = (0.590−0.200)/0.010 = 39.0 cm，与实测 ON = 39.0 cm 一致 ✓。两端闭合，说明落点命名（P 碰前、M 碰后入射球、N 碰后被碰球）没有对错。
四、采分点对照
| 设问 | 答案要点 | 采分点 |
|---|---|---|
| (1) 原理 | h 同 → t 同 → 两边乘 t 得位移式 | 平抛时间相同 2 分；v=x/t 1 分；推导 2 分；「不必测 t/速度」1 分 |
| (2) | 左右皆 0.590 kg·cm，偏差 0%，成立 | 两边计算各 2 分；偏差 1 分；「误差允许范围内」1 分；动能补充 1 分 |
| (3) 质量 | m₁>m₂，防反弹 | 条件 1 分；反弹理由 2 分 |
| (3) 半径/水平/同位 | 等半径对心、末端水平、同位静止释放 | 三条各 2 分（条件+理由） |
| (4) ① | 高度不同 → t 不同 → 检验式失效 | 判定 1 分；前提破坏 2 分 |
| (4) ② | 最小圆中心减小偶然误差 | 判定 1 分；理由 1 分 |
| (4) ③④ | 反弹 / 末端不水平均破坏前提 | 各 2 分 |
五、高频易错点
- 把落点命名弄反：P 是「不放被碰球」时入射球的落点，M 是「碰后入射球」，N 是「碰后被碰球」。
- 推导只背 m₁OP=m₁OM+m₂ON，不写「同高度 → t 相同」这一步，原理分被扣。
- 忘记 t 能约掉的前提是两球抛出高度相同、初速度水平。
- 认为动量守恒要求动能也守恒：本题动能略减仍属动量守恒。
- m₁ < m₂ 却照常测 OM，不知道入射球会反弹。
- 两球半径不等，碰撞非对心、抛出高度不同，仍用同一 t。
- 斜槽末端不水平或释放位置不固定，只归为「读数误差」而不判方案错误。
- 只取一次落点，不用最小圆中心，偶然误差被直接带入。
六、小结与自查清单
| 要点 | 正确要求 | 破坏后果 |
|---|---|---|
| 落点 | P 碰前、M 碰后 m₁、N 碰后 m₂ | 命名反了则表达式错配 |
| 时间 | 同高度平抛 → t 相同 | t 不同则位移式失效 |
| 质量 | m₁ > m₂ | 入射球反弹 |
| 半径 | 相等、球心等高 | 非对心、高度不同 |
| 末端 | 严格水平 | 初速带竖直分量 |
| 落点取值 | 最小圆圆心（平均） | 单次落点偶然误差大 |
- □ 先写「h 相同 → t=√(2h/g) 相同 → v=x/t」，再推位移式。
- □ 三个落点命名逐一核对，别把 P 与 M 对调。
- □ 检验式两边分别算，给出偏差与「误差允许范围内」。
- □ 条件题写「要求 + 为什么」，尤其 m₁>m₂ 防反弹。
- □ 区分「动量守恒」与「动能守恒」，不混答。
- □ 误差题先判「方案性错误」还是「偶然误差」。
- □ 结果回代反推一个位移（如 ON），确认落点没对错。
平抛法最漂亮的一步，是把「测速度」换成「量长度」：同高度给出同一个 t，动量守恒两边一乘 t 就成了 m₁·OP = m₁·OM + m₂·ON。所有条件题其实都在守这个前提——高度相同、初速水平、不反弹。把「为什么 t 能约掉」写透，其余各问都是它的注脚。本组数据、装置与结论均为原创自编仿真内容。
