联招数学·解三角形：余弦定理与三角形形状判定

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

两条路要会同时走：化边——用余弦定理 cosA = (b²+c²−a²)/(2bc)、cosB、cosC 把角换成边的关系；化角——用正弦定理 a=2R sinA 等把边换成角的正弦，再用三角恒等变换化简。哪边简单走哪边，另一条用来验。

判定结论只有几类：等腰（两边相等/两角相等）、直角（勾股或某角 90°）、等边、等腰直角、钝角/锐角。最容易错的是「由 sin2A = sin2B 只推出 A=B」，漏掉 A+B=90° 的直角情形。下面三题均为自编题，数值自拟。

二、题目呈现

题1（自编）

在 △ABC 中，a = 7，b = 5，c = 3。判断三角形的形状（按角分类），并求最大角的大小。

题2（自编）

在 △ABC 中，满足 (a + b + c)(a + b − c) = 3ab。判断 △ABC 的形状，并求角 C。

题3（自编）

在 △ABC 中，已知 sin2A = sin2B。某同学据此直接得出「△ABC 是等腰三角形」。请判断该结论是否完整，给出全部可能情形并说明理由；若再附加条件 a ≠ b，形状又是什么？

三、分步解析

题1　最大边 a=7 对最大角 A。由余弦定理：
cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) = (25 + 9 − 49)/(2×5×3) = (−15)/30 = −1/2。
故 A = 120°，为钝角 → △ABC 是钝角三角形。
另两角回验：cosB = (49+9−25)/(2×7×3) = 33/42 = 11/14 ≈ 0.7857 → B ≈ 38.2°；cosC = (49+25−9)/(2×7×5) = 65/70 = 13/14 ≈ 0.9286 → C ≈ 21.8°。B + C ≈ 60° = 180° − 120° ✓。
第二法（勾股推广）互验：b² + c² = 34 < a² = 49，最大边平方大于另两边平方和 → 最大角为钝角 ✓ 与 cosA<0 一致。

题2　先化简条件：(a+b+c)(a+b−c) = (a+b)² − c² = a² + 2ab + b² − c² = 3ab → a² + b² − c² = ab。
化边法：由余弦定理 cosC = (a² + b² − c²)/(2ab) = ab/(2ab) = 1/2 → C = 60°。仅凭 C=60° 还不能断定等边（还需 a=b），故形状结论是「C 为 60° 的三角形」，不能写「等边三角形」。
化角法互验：由正弦定理把 a²+b²−c²=ab 换成 sin²A + sin²B − sin²C = sinA sinB；因 C = π−(A+B)，sinC = sin(A+B)，代入化简亦可回到 cosC=1/2（或直接把上式与余弦定理对照，属于同一关系的两种写法）。更简便的互验是取一组满足条件的具体边：令 a=b=1，则 a²+b²−c²=ab → 2−c²=1 → c=1，此时三边相等、C=60° ✓；再取 a=2、b=1，则 4+1−c²=2 → c²=3 → c=√3，验证 cosC=(4+1−3)/(2×2×1)=2/4=1/2 → C=60° ✓，但三边不等，说明「C=60°」是唯一确定结论，「等边」只是 a=b 时的特例。这一区分正是本题设的坑。

题3　该同学的结论不完整。由 sin2A = sin2B，在 A、B ∈ (0, π)、故 2A、2B ∈ (0, 2π) 的范围内，正弦相等有两类解：
① 2A = 2B → A = B → a = b，等腰三角形；
② 2A = π − 2B → 2A + 2B = π → A + B = π/2 → C = π/2，直角三角形（C 为直角）。
（注：2A = 2B + 2π 等解超出范围，不取；2A = π − 2B + 2π 会使 A+B > π，亦排除。）
故全部可能情形为：等腰三角形（a=b）或直角三角形（C=90°），两者可以重叠（等腰直角）。只写「等腰」漏掉直角支。
附加 a ≠ b：排除 A=B 那一支，只剩 A+B=90°，故 △ABC 必为以 C 为直角的直角三角形。
回验：取 A=30°、B=60°、C=90°，sin60° = sin120° = √3/2 ✓ 且 a≠b；取 A=B=50°，sin100°=sin100° ✓ 且 a=b，C=80° 非直角。两支各有实例，说明都没漏。

两法互验小结　题1 用余弦定理求 cosA 为主、以「b²+c² 与 a² 比较」为辅；题2 用化简条件 + 余弦定理为主、以代入具体边组为辅；题3 用「正弦相等的两类解」穷举为主、以取具体角度回代为辅。凡是形状判定题，答案里必须写出分类的完整性（有没有漏支）和一个回代实例，否则容易被「只推一半」扣分。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 题1 不先判最大边，拿小边去算角，得出「锐角」的错误结论。
• cosA 为负时忘记角在第二象限，把 A 写成 60° 而不是 120°。
• 题2 由 C=60° 直接跳到「等边三角形」，忽略 a、b 未必相等。
• 题2 条件 (a+b+c)(a+b−c) 展开错，写成 a²+b²−c²=3ab。
• 题3 由 sin2A=sin2B 只取 2A=2B，漏掉 2A=π−2B 的直角支。
• 题3 不检查 2A、2B 的取值范围，把超出 (0,2π) 的解也算进来。
• 形状题只给结论不回代实例，无法证明分类已穷尽。
• 化角时忘记 sinC = sin(A+B)，恒等变换卡住又不换化边法。

六、小结与自查清单

• □ 三边题先找最大边，最大角一定对着它。
• □ 余弦值为负时角在第二象限，别取锐角。
• □ 边的条件先展开化简，再对照余弦定理分子。
• □ 「C=60°」不等于「等边」，除非另有 a=b。
• □ sinX=sinY 一律写两支，并检查 X、Y 范围。
• □ 形状结论写全所有可能支，附一组具体值回代。
• □ 化角卡住就换化边，两条路结果必须一致。

形状判定的分，一半在「选对路径」，一半在「有没有把支数想全」。三边题先抓最大角，边的关系式化简后对照余弦定理，角的正弦关系一律穷举两支；再用一组具体值回代，既能验算也能证明没漏。把「C=60° 不是等边」「sin2A=sin2B 还有直角支」这两句记住，最常丢的两分就回来了。本组题目与数值均为原创自编仿真内容。