题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
画草图不需要描很多点，只需要四样东西：定义域、f′ 的零点、每个区间上 f′ 的符号、驻点（及端点）的函数值。f′ > 0 升、f′ < 0 降；f′ 由正变负是极大，由负变正是极小；f′ = 0 只是驻点的必要信号，不是极值的充分条件（如 f(x)=x³ 在 x=0）。
本题组统一用五步：①求 f′；②解 f′=0 得驻点；③列符号表分区间判正负；④回代原函数算驻点与端点值；⑤按升降与关键点连成草图。第 ④ 步是这类题最常被跳掉、也最容易把图画歪的一步，下面三题都做回代验算。
二、题目呈现
题1
已知 f(x) = x³ − 3x² + 2。
(1) 求 f′(x)，列出单调区间与极值；
(2) 求 f(x) 在闭区间 [−1, 3] 上的最大值与最小值；
(3) 据此画出 f(x) 的草图，并标出关键点。
题2
已知函数 f(x) 的导函数为 f′(x) = (x − 1)(x − 3)，且 f(2) = 0。
(1) 求 f(x) 的解析式；
(2) 求 f(x) 的极大值与极小值；
(3) 说明 f′ 的图象与 f 的草图之间是如何对应的。
题3（单选）
若函数 f(x) = x³ + ax² + bx 在 x = 1 处取得极小值 −2，则（ ）
A. a = 0, b = −3 B. a = −3, b = 0 C. a = 0, b = 3 D. a = 3, b = 0
三、分步解析
题1 (1) f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)。令 f′ = 0 得 x = 0 或 x = 2。符号表：x < 0 时 3x(x−2) > 0（两负相乘为正），0 < x < 2 时 x>0、x−2<0 故 f′ < 0，x > 2 时 f′ > 0。故 增区间 (−∞, 0) 与 (2, +∞)，减区间 (0, 2)；x=0 处 f′ 由正变负为极大点，x=2 处由负变正为极小点。回代：f(0) = 2，f(2) = 8 − 12 + 2 = −2。即极大值 2，极小值 −2。
题1 (2) 闭区间最值要把驻点与两个端点全部算出再比：f(−1) = −1 − 3 + 2 = −2，f(0) = 2，f(2) = −2，f(3) = 27 − 27 + 2 = 2。比较得：最大值 2（在 x = 0 与 x = 3 两处取到），最小值 −2（在 x = −1 与 x = 2 两处取到）。验算：由 (1) 的升降可知 [−1,0] 升、[0,2] 降、[2,3] 升，故最大只可能在 x=0 或 x=3、最小只可能在 x=−1 或 x=2，四个值两两相等与升降走势完全吻合。
题1 (3) 草图要点：过 (0, 2) 极大、 (2, −2) 极小；左端 x→−∞ 时 f→−∞，右端 x→+∞ 时 f→+∞；在 [−1,3] 内还经过 (−1, −2) 与 (3, 2)。曲线自左下升到 (0,2)，再降到 (2,−2)，再向右上升；x 轴交点可由 f(x)=0 观察：f(−1)=−2、f(0)=2 说明 (−1,0) 内有一根，f(2)=−2、f(3)=2 说明 (2,3) 内有一根，另有 f(1)=1−3+2=0 即 x=1 恰为一根，共三根，与三次函数最多三根一致，图象自洽。
题2 (1) f′(x) = (x−1)(x−3) = x² − 4x + 3，积分得 f(x) = x³/3 − 2x² + 3x + C。由 f(2) = 8/3 − 8 + 6 + C = 2/3 + C = 0，得 C = −2/3。故 f(x) = x³/3 − 2x² + 3x − 2/3。回代验算：f(2) = 8/3 − 8 + 6 − 2/3 = 6/3 − 2 = 0 ✓；求导 f′ = x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3) ✓。
题2 (2) 由 f′ 开口向上、两根 1 与 3 知：x<1 时 f′>0（增），1<x<3 时 f′<0（减），x>3 时 f′>0（增）。故 x=1 为极大点、x=3 为极小点。回代：f(1) = 1/3 − 2 + 3 − 2/3 = 2/3，f(3) = 9 − 18 + 9 − 2/3 = −2/3。即极大值 2/3，极小值 −2/3。对称性验算：f(1)+f(3)=0 且 f(2)=0，与三次函数关于其拐点 (2, 0) 中心对称一致（f″(x)=2x−4，f″=0 于 x=2），三点数值自洽。
题2 (3) 对应关系三条：① f′ 的零点 ↔ f 的驻点横坐标（1 与 3）；② f′ 图象在 x 轴上方／下方 ↔ f 的升／降（上方位 (−∞,1)∪(3,+∞) 对应两段升，下方位 (1,3) 对应一段降）；③ f′ 穿过 x 轴的方向 ↔ 极大还是极小（在 x=1 由正穿到负 ↔ 极大，在 x=3 由负穿到正 ↔ 极小）。此外 f′ 的最低点在 x=2，对应 f″(2)=0，即 f 的拐点横坐标——这也解释了 f(2)=0 恰在两驻点中间。
题3 f′(x) = 3x² + 2ax + b。在 x=1 取极值须 f′(1) = 3 + 2a + b = 0；又 f(1) = 1 + a + b = −2。两式联立：由第一式 b = −3 − 2a，代入第二式 1 + a − 3 − 2a = −2 → −2 − a = −2 → a = 0，故 b = −3。此时 f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)，x=1 处 f′ 由负变正，确为极小（不是极大），条件满足。故答案为 A。回代验算：f(x)=x³−3x，f(1)=1−3=−2 ✓，f′(1)=0 ✓。B 项 a=−3,b=0 时 f′(x)=3x²−6x，f′(1)=−3≠0，直接排除；C 项 f′(1)=6≠0；D 项 f′(1)=6≠0。
四、采分点对照
| 题号 | 答案 | 采分点构成 |
|---|---|---|
| 题1 (1) | 增 (−∞,0),(2,+∞)；减 (0,2)；极大 2、极小 −2 | 求导 1 分；解驻点 1 分；符号表 2 分；回代算极值 1 分 |
| 题1 (2) | 最大 2（x=0,3）；最小 −2（x=−1,2） | 列出驻点与两端点四个值 2 分；比较结论 1 分；说明两个取到点 1 分 |
| 题1 (3) | 草图见解析 | 标出两驻点 1 分；两端趋势 1 分；升降三段 1 分；零点个数自洽 1 分 |
| 题2 (1) | f(x)=x³/3−2x²+3x−2/3 | 写出积分式 2 分；由 f(2)=0 定 C 1 分；求导回验 1 分 |
| 题2 (2) | 极大 2/3、极小 −2/3 | 符号判定 1 分；两个函数值回代各 1 分；拐点对称性验算 1 分 |
| 题2 (3) | 三条对应 | 零点↔驻点 1 分；上方位↔升降 1 分；穿轴方向↔极大极小 1 分；f′最低点↔拐点 1 分 |
| 题3 | A | 列出 f′(1)=0 与 f(1)=−2 两式各 1 分；解出 a、b 1 分；验证 x=1 为极小 1 分；排除其余 1 分 |
五、高频易错点
- 只写 f′=0 的解就宣布是极值点，不列符号表验证符号是否真的改变（f(x)=x³ 型反例）。
- 闭区间最值只比较驻点，漏掉两个端点——题1 的最大值恰在端点 x=3 也取到。
- 求极值时用 f′ 的值代替 f 的值，或忘记把驻点代回原函数。
- 由 f′ 反推 f 时漏掉积分常数 C，或定了 C 不回代检验。
- 题3 只由 f(1)=−2 一个条件就猜 a、b，忘记极值还必须满足 f′(1)=0；或解出后不验证是极小而非极大。
六、小结与自查清单
| f′ 的信息 | f 的图象表现 | 本题对应 |
|---|---|---|
| f′ > 0 / f′ < 0 | 递增 / 递减 | 题1 三段升降 |
| f′ = 0 且正→负 | 极大点 | 题1 x=0；题2 x=1 |
| f′ = 0 且负→正 | 极小点 | 题1 x=2；题2 x=3 |
| f′ = 0 但符号不变 | 驻点非极值（水平拐点） | x³ 在 x=0（辨析用） |
| f′ 的极值点（f″=0） | f 的拐点 | 题2 x=2，f(2)=0 |
- □ 求导后先因式分解，再解 f′=0，别直接套公式硬解。
- □ 符号表按驻点把数轴分段，每段取一个测试点代入判号。
- □ 极值一律把横坐标代回原函数算纵坐标，别用 f′ 的值。
- □ 闭区间最值把「驻点＋两端点」列成一张小表再比大小，写明在哪些 x 取到。
- □ 由 f′ 反推 f 时先写 +C，用给定点定 C，再求导回验一次；最后用二阶导确认极大极小。
图象题不需要描点描得密，只需要把 f′ 的零点、符号、驻点函数值这三件事做全，草图的骨架就定了。题1 的四个端点/驻点值两两相等、题2 的拐点中心对称，都是「回代一下就能自证」的自洽信号——考场上多花三十秒验这一下，比事后检查整张图划算得多。本组题目、函数式与数值均为原创自编仿真内容。
