联招数学·导数证明不等式：构造辅助函数的四种起手式

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

统一框架四步：①移项把待证式写成「左边 − 右边」；②构造令 F(x) = 左 − 右，待证即 F(x) ≥ 0（或 > 0）；③求导由 F′ 的符号定 F 的单调区间与最小值点；④回代算最小值处的 F 值，若 ≥ 0 则证毕。第四步最容易被漏——只写「F 单调递增」不写「F(x₀)=0」是不完整的证明。

四种起手式：作差（最常用，直接左右相减）、移项变形（把含参项移到一侧便于求导）、同构（把两边凑成同一函数在不同点的取值，用单调性比较自变量）、放缩（先用已知不等式降次再构造）。下面三题覆盖前三种并带一处放缩，所有函数式与数值均为自编并做回代验算。

二、题目呈现

题1

用构造辅助函数的方法证明：
(1) 对任意实数 x，e^x ≥ 1 + x，并指出取等条件；
(2) 当 x > 0 时，ln x ≤ x − 1，并由此推出 ln 2 < 1 与 ln(1 + 1/n) < 1/n（n 为正整数）。

题2（单选）

要证明「当 x > 1 时，2√x > 3 − 1/x」，下列构造的辅助函数中，能直接完成证明的是（　）

A. F(x) = x − 1 − ln x　B. F(x) = 2√x − 3 + 1/x　C. F(x) = e^x − 1 − x　D. F(x) = x − sin x

题3

已知 x > 0，证明：x − x²/2 < ln(1 + x) < x。
（提示：两侧分别构造 F₁(x) = ln(1+x) − x 与 F₂(x) = ln(1+x) − x + x²/2，并做数值回代验证。）

三、分步解析

题1 (1)　令 F(x) = e^x − 1 − x，定义域 R。F′(x) = e^x − 1。
当 x < 0 时 e^x < 1 ⇒ F′ < 0，F 递减；当 x > 0 时 F′ > 0，F 递增；故 x = 0 是 F 的最小值点。
回代：F(0) = 1 − 1 − 0 = 0。于是对任意 x，F(x) ≥ F(0) = 0，即 e^x ≥ 1 + x。取等条件：仅在 x = 0 时成立。
数值回代验算：x = 1 时 F(1) = e − 2 ≈ 0.718 > 0 ✓；x = −1 时 F(−1) = e⁻¹ ≈ 0.368 > 0 ✓，两侧均非负且与「先减后增、最小在 0」一致。

题1 (2)　令 G(x) = x − 1 − ln x（x > 0）。G′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x。
0 < x < 1 时 G′ < 0（减），x > 1 时 G′ > 0（增），故 x = 1 为最小点；G(1) = 1 − 1 − 0 = 0。故 G(x) ≥ 0，即 ln x ≤ x − 1，等号仅在 x = 1。
推出 ln 2 < 1：取 x = 2（≠1，严格不等），ln 2 < 2 − 1 = 1 ✓。
推出 ln(1+1/n) < 1/n：取 x = 1 + 1/n > 1（n 为正整数），由严格不等式 ln x < x − 1 得 ln(1 + 1/n) < (1 + 1/n) − 1 = 1/n ✓。
回代验算：n = 1 时 ln 2 ≈ 0.693 < 1 ✓；n = 10 时 ln 1.1 ≈ 0.0953 < 0.1 ✓。两处数值与结论一致。

题2　待证式 2√x > 3 − 1/x 移项即得 2√x − 3 + 1/x > 0，故应构造 F(x) = 2√x − 3 + 1/x，选 B。
完整验证（说明 B 确实能证）：F′(x) = 1/√x − 1/x² = (x^3/2 − 1)/x²。当 x > 1 时 x^3/2 > 1 ⇒ F′ > 0，F 在 (1, +∞) 递增；F(1) = 2 − 3 + 1 = 0；故 x > 1 时 F(x) > F(1) = 0，即原不等式成立。数值回代：x = 4 时 F(4) = 4 − 3 + 0.25 = 1.25 > 0 ✓，且 2√4 = 4 > 3 − 0.25 = 2.75 ✓。
其余选项为何不行：A 是题1(2) 的构造，证的是 ln x ≤ x−1；C 证的是 e^x ≥ 1+x；D 证的是 x > sin x。三者与待证式无关，属于「熟悉的构造」型干扰项。故答案为 B。

题3 右侧　令 F₁(x) = ln(1+x) − x（x > 0）。F₁′(x) = 1/(1+x) − 1 = −x/(1+x) < 0，故 F₁ 在 (0,+∞) 严格递减；又 F₁(0) = 0（端点值，可由连续性取极限），故 x > 0 时 F₁(x) < 0，即 ln(1+x) < x ✓。

题3 左侧　令 F₂(x) = ln(1+x) − x + x²/2（x > 0）。F₂′(x) = 1/(1+x) − 1 + x = [1 − (1+x) + x(1+x)]/(1+x) = x²/(1+x) > 0，故 F₂ 在 (0,+∞) 严格递增；F₂(0) = 0，故 x > 0 时 F₂(x) > 0，即 ln(1+x) > x − x²/2 ✓。
合并两侧即得 x − x²/2 < ln(1+x) < x。
数值回代验算：取 x = 0.5，左 = 0.5 − 0.125 = 0.375，中 = ln 1.5 ≈ 0.4055，右 = 0.5，满足 0.375 < 0.4055 < 0.5 ✓；取 x = 2，左 = 2 − 2 = 0，中 = ln 3 ≈ 1.0986，右 = 2，满足 0 < 1.0986 < 2 ✓。两处均闭环，且 F₂′ = x²/(1+x) 恒正、F₁′ = −x/(1+x) 恒负，与「左侧递增、右侧递减」的推导一致。

起手式小结　本题组用到的构造对应四种起手式中的三种：作差（题1 两问、题2、题3 两侧都是把左右相减）、移项（题2 把 3 − 1/x 整体移到左边，使 √x 与 1/x 便于求导）、放缩（题1(2) 由 ln x ≤ x−1 令 x = 1+1/n 推出对数估计，是用已知不等式降维）。同构式（如把 a e^a 与 b e^b 凑成同一函数值再比自变量）在本组未出题，作为后续轮次的独立角度保留。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 只写「F 单调递增」就宣布证毕，漏掉最关键的最小值回代 F(x₀)=0。
• 定义域不写：ln x 与 1/x 的构造必须先声明 x>0，端点 x=0 是极限意义下的值。
• 题2 看到熟悉的 F(x)=x−1−ln x 就选，没把待证式先移项对照。
• F₂′ 通分时把 1/(1+x) − 1 + x 算成 −x²/(1+x)，符号弄反导致结论颠倒。
• 严格与非严格混用：x>1 时 F(x) > F(1) 是严格的，推论里的 ln2 < 1 也必须写严格不等号。

六、小结与自查清单

• □ 先把待证式写成「左 − 右」，明确 F 与定义域。
• □ 求 F′ 后因式分解或通分化到能一眼判号的形式，再分区间。
• □ 必须回代最小值点的 F 值，并写清等号／严格不等号能否取到。
• □ 端点不在定义域内时，用极限或连续性说明 F(0) 的含义。
• □ 证完取一两个具体数值代回原式，快速验证方向没有反。

构造辅助函数不是凑灵感，而是一套固定动作：移项、设 F、求导判号、回代最小值。题1 的 F(0)=0、题2 的 F(1)=0、题3 两侧的 F(0)=0 都是同一个套路——把待证不等式变成「某个函数的最小值不小于零」。本组函数式与数值均为原创自编，并逐处做了回代验算。