联招物理·实验题：探究功与物体速度变化的关系

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

实验设计的关键巧思：不必测出功的绝对值。用 1 条、2 条、3 条……相同橡皮筋并联，每次拉伸到同一长度 x，则做功分别为 W₁、2W₁、3W₁……成整数倍；只要作出 W—v、W—v²、W—√v 三种图，哪一条是过原点的直线，关系就是哪一个。理论上由动能定理 W = ½mv² 可知应是 W ∝ v²。

操作上有三处必须交代：①平衡摩擦力（垫高木板一端，使小车在无橡皮筋牵引时能拖着纸带匀速下滑），否则 W 里混进摩擦功；②每次拉伸量相同，倍数关系才成立；③测速取橡皮筋恢复原长之后的匀速段，用纸带上间距均匀的部分算 v，不能取加速段。下面六组数据为自编示意数值，且做了三处闭环核对，不代表真实测量记录。

二、题目呈现

题目

某同学用图示装置探究功与速度变化的关系。小车（含砝码）质量 m = 0.200 kg，木板已平衡摩擦力。用 n 条相同橡皮筋并联、每次拉伸同一长度，设每条橡皮筋对小车做的净功为 W₁ = 0.100 J（自编示意值，已扣除摩擦影响）。纸带匀速段测得速度如下：

自编数据表

| n（条） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| W = nW₁ / (10⁻² J) | 10.0 | 20.0 | 30.0 | 40.0 | 50.0 | 60.0 |

| v / (m·s⁻¹) | 1.00 | 1.41 | 1.73 | 2.00 | 2.24 | 2.45 |

| v² / (m²·s⁻²) | 1.00 | 1.99 | 2.99 | 4.00 | 5.02 | 6.00 |

设问

(1) 说明为什么用「橡皮筋条数成倍增加」就可以不测功的具体数值；
(2) 分别判断 W 与 v、W 与 v² 是否成线性关系，求出 W—v² 图的斜率并写出关系式；
(3) 用动能定理核对斜率数值，做三处闭环验算；
(4) 说明平衡摩擦力、每次拉伸量相同、取匀速段测速这三项若不满足，各会造成什么偏差。

三、分步解析

(1) 倍数设计　n 条相同橡皮筋并联、拉伸同一长度 x 时，每条储存并释放的弹性势能相同，故总功 W = nW₁。实验中只需把横坐标取为 n（或 W/W₁ 的倍数），就能用相对倍数代替「测出多少焦耳」；判断 W 与 v 的幂次关系只依赖倍数是否成比例，不依赖 W₁ 的绝对数值。这正是本实验避开直接测力的关键。
采分点：写出 W=nW₁ 1 分、说明「相同＋同伸长量」是保证等功的前提 1 分、说明倍数可替代绝对值 1 分。

(2) 线性化与斜率　W 与 v：W/v 分别为 10.0、14.2、17.3、20.0、22.3、24.5（单位 10⁻² J·s/m），不是常数，故 W 与 v 不成线性。
W 与 v²：逐组算 W/v²（单位 J·s²/m²，注意 W 已换算成 J）：
n=1：0.100/1.00 = 0.100；n=2：0.200/1.99 ≈ 0.1005；n=3：0.300/2.99 ≈ 0.1003；n=4：0.400/4.00 = 0.100；n=5：0.500/5.02 ≈ 0.0996；n=6：0.600/6.00 = 0.100。
六组比值在 0.100 ± 0.0005 内，为常数 ⇒ W 与 v² 成线性且过原点。
斜率 k = W/v² = 0.100 J·s²/m²，关系式 W = 0.100 v²（W 单位 J，v 单位 m/s）。
截距检查：n = 0（不做功）时 v = 0、v² = 0，直线过原点，无需常数项 ✓。
采分点：算出 W/v 非常数 1 分、逐组算 W/v² 2 分、判定线性过原点 1 分、斜率与单位 2 分、关系式 1 分。

(3) 动能定理核对与三处闭环　理论值：平衡摩擦力后，橡皮筋做的净功全部转化为动能增量，W = ½mv² = ½ × 0.200 × v² = 0.100 v²。理论斜率 ½m = 0.100，与 (2) 由数据拟合出的 0.100 完全一致 ✓。
验算一（逐组回代）：n=4 时 W = 0.400 J，v² = 4.00 ⇒ v = 2.00 m/s；代回 ½mv² = 0.5 × 0.200 × 4.00 = 0.400 J ✓。
验算二（由速度反推功）：n=6 时 v = 2.45、v² = 6.00 ⇒ W = 0.100 × 6.00 = 0.600 J = 6 W₁ ✓，与条数倍数一致。
验算三（由功反推速度）：n=2 时 W = 0.200 J ⇒ v² = W/0.100 = 2.00 ⇒ v = √2 ≈ 1.41 m/s ✓，与表中 1.41（v² = 1.99，属三位取值舍入）一致。
三处闭环说明：数据、拟合斜率、动能定理三者自洽；表中的 1.99、2.99、5.02 是 v 取两位小数后平方产生的舍入，不是实验误差，答题时应点明。
采分点：写出 W = ½mv² 2 分、算出 ½m = 0.100 1 分、三处验算各 1 分、说明舍入 1 分。

(4) 三项操作的偏差　①未平衡摩擦力：橡皮筋做的功有一部分要克服摩擦，实测 W_测 = ½mv² + W_f，作出的 W—v² 直线不再过原点（有正截距），且斜率大于 ½m；若按 W = ½mv² 处理会高估动能增量。②每次拉伸量不同：W 与 n 不再成整数倍，横坐标的倍数关系失真，W—v² 散点不成直线，无法判断幂次。③取加速段测速：橡皮筋尚未恢复原长时小车仍在加速，纸带点距不均匀，测得的 v 不是「做功完毕后的末速度」，代入会使 v² 偏小、散点系统性偏离直线。此外还须先接通电源再释放小车、纸带与限位孔摩擦尽量小。
采分点：三项各 2 分（偏差方向＋原因），补充操作 1 分。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 把 W 与 v 直接判为线性（看 W 和 n 都是等差的，误以为 v 也等差）。
• 算 W/v² 时忘记把表中「10⁻² J」换算成 J，斜率错成 10.0。
• 不写斜率单位，或把关系式写成 W = 0.100v（漏平方）。
• 漏掉动能定理核对：本实验最有说服力的一步就是 ½m 与拟合斜率吻合。
• 把表中 1.99、5.02 当成实验误差去「修正」，其实只是 v 取两位小数后的平方舍入。

六、小结与自查清单

• □ 先说明「相同橡皮筋＋同一伸长量」是 W 成倍数的前提。
• □ 把 W/v、W/v² 各算一组比值列成小表，用「是否近似常数」判定线性。
• □ 斜率写数值也写单位，关系式写成 W = k v²。
• □ 用 W = ½mv² 算理论斜率 ½m 并与拟合值对照，再取一组数据双向回代。
• □ 把三项操作要点各写清「不满足会往哪边偏」，并点明舍入不是误差。

这个实验的漂亮之处在于「不测功也能找关系」：只要功成倍数，作三种图看哪条过原点就够了。而说服力来自最后那一下——拟合出的斜率 0.100 恰好等于 ½m = ½×0.200，数据、图像、动能定理三面对上，结论才站得住。本题质量、功与六组速度数据均为自编示意数值，不代表真实测量记录。