联招物理·实验题：光电门测瞬时速度与加速度

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

光电门的核心只有一条式子：v = d / Δt，d 是挡光片沿运动方向的宽度，Δt 是遮光时间。它给出的是挡光这段时间内的平均速度；把它当作瞬时速度，靠的是 d 足够小。匀变速直线运动里有个漂亮结论：一段时间内的平均速度恰好等于该段时间中点时刻的瞬时速度，所以 v̄ 对应的时刻是挡光过程的中点，不是挡光开始、也不是挡光结束——这一句是误差分析题的标准答案。

求加速度有两条路：知道两门间距 s 用 v₂² − v₁² = 2as；知道两门间的运动时间 ΔT 用 a = (v₂ − v₁)/ΔT。两条路互为验算。下面数据全部为自编示意数值，且做了三处闭环核对，不代表任何真实测量记录。

二、题目呈现

题目

用图示装置测小车在倾斜轨道上的加速度。挡光片沿运动方向的宽度 d = 1.00 cm，小车沿轨道做匀加速直线运动。由数字计时器读得：挡光片通过光电门 1 的遮光时间 Δt₁ = 5.00 ms，通过光电门 2 的遮光时间 Δt₂ = 2.00 ms；两光电门中心间距 s = 1.50 m。小车从门 1 运动到门 2 的时间 ΔT 由计时器另测，题目不直接使用。

(1) 求小车通过光电门 1、2 时的瞬时速度 v₁、v₂；

(2) 求小车运动的加速度 a，并用两种方式回代验算；

(3) 说明用 d/Δt 代替瞬时速度所带来的系统误差：该平均速度对应哪个时刻？若把挡光片换成更宽的，测得的速度相对「门中心处的真瞬时速度」偏大还是偏小？请定性说明。

题后补充问

(4) 若仅把挡光片宽度改为 d′ = 2.00 cm，而遮光时间读数仍为 Δt₁、Δt₂ 不变，则算出的 v₁′、v₂′ 与 a′ 各为多少？这一问说明什么？

三、分步解析

(1) 求速度　统一单位：d = 1.00 cm = 1.00×10⁻² m，Δt₁ = 5.00 ms = 5.00×10⁻³ s，Δt₂ = 2.00 ms = 2.00×10⁻³ s。
v₁ = d/Δt₁ = (1.00×10⁻²)/(5.00×10⁻³) = 2.00 m/s；
v₂ = d/Δt₂ = (1.00×10⁻²)/(2.00×10⁻³) = 5.00 m/s。
采分点：写出 v = d/Δt 原始公式（1分）、单位换算（1分）、两个数值各 1 分、带单位与结论句（1分）。

(2) 求加速度　用不含时间的速度—位移关系：v₂² − v₁² = 2as，故
a = (v₂² − v₁²)/(2s) = (25.0 − 4.00)/(2 × 1.50) = 21.0/3.00 = 7.00 m/s²。
验算一（位移回代）：2as = 2 × 7.00 × 1.50 = 21.0 = v₂² − v₁² ✓。
验算二（时间互算）：由 a = (v₂ − v₁)/ΔT 得 ΔT = (5.00 − 2.00)/7.00 = 3/7 ≈ 0.429 s；再用 s = (v₁+v₂)ΔT/2 = (7.00/2) × (3/7) = 1.50 m ✓，与题给间距一致。三处数值闭环，说明数据自洽。
采分点：写出 v₂²−v₁²=2as（2分）、代入求解（1分）、两种验算各 1 分。

(3) 误差分析　对应时刻：d/Δt 是挡光时间 Δt 内的平均速度；匀变速下 v̄ = v(t₀ + Δt/2)，即对应挡光过程中点时刻、也就是挡光片中点经过光电门光束的时刻的瞬时速度。若把两门中心间距 s 当作这两个「中点时刻」之间的位移，二者是一致的（因为两次测量都用同一片挡光片、同一取法），故 a 的系统偏差在本题取法下相互抵消。
宽度变大偏大还是偏小：设在门中心（光束位置）处的真瞬时速度为 v_c。挡光片前沿到达光束时速度小于 v_c，后沿离开时大于 v_c，而匀变速下整段平均速度等于中点时刻的速度。若以「挡光片中点通过光束」为门中心时刻，则中点时刻的速度并不等于 v_c——挡光片中点通过光束发生在前沿到达之后 Δt/2，此时小车已加速了 a·Δt/2，故测得值 偏大（相对「前沿刚到光束」的瞬时速度）。更常见的教材口径是：d 越大，Δt 越长，平均速度与所认定时刻的瞬时速度偏差越大，系统误差随 d 增大而增大，方向取决于把 v̄ 归到哪个时刻；严谨答题应写明「若归到中点时刻则无系统偏差（匀变速精确成立），若归到挡光起始/门中心前沿时刻则偏大」。本题按「归到前沿到达时刻」口径答偏大，且 d 越大偏差越大。
采分点：写出平均速度本质（1分）、中点时刻结论（2分）、指出误差随 d 增大（1分）、明确偏大/偏小的前提条件（1分）。

(4) 宽度加倍　d′ = 2.00×10⁻² m 而 Δt 不变：
v₁′ = (2.00×10⁻²)/(5.00×10⁻³) = 4.00 m/s，v₂′ = (2.00×10⁻²)/(2.00×10⁻³) = 10.0 m/s（均恰为原来的 2 倍）。
a′ = (v₂′² − v₁′²)/(2s) = (100 − 16.0)/3.00 = 84.0/3.00 = 28.0 m/s²（为原来的 4 倍）。
说明什么：v ∝ d，故 a ∝ d²（在 Δt 与 s 不变时）。这一问是个陷阱校验——现实中若只换更宽的挡光片而小车运动不变，遮光时间 Δt 必然随之改变，不可能「读数不变」；题设人为固定 Δt，纯粹用来暴露「d 是分子、不能随手换」这一依赖关系。真实实验中必须重新测量 Δt，把 d 与 Δt 配套代入。
采分点：两个速度各 1 分、加速度 1 分、指出 a ∝ d² 1 分、点明现实中 Δt 会变、须配套测量 2 分。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 忘记把 cm、ms 换成 m、s，直接拿 1.00/5.00 = 0.2 当速度。
• 把 d/Δt 说成「门中心处的瞬时速度」而不交代它本是挡光时间内的平均速度。
• 求加速度误用 a = (v₂−v₁)/s 或漏掉平方，写不出 v₂²−v₁²=2as 的原始公式。
• 误差分析只写「宽度越小越准」，不说明对应时刻，也不说明偏大偏小成立的前提。
• 第 (4) 问按「换片不改变运动」的直觉硬套原 a，忽略题设固定 Δt 的人为条件；或在真实实验里忘了 Δt 必须重测。

六、小结与自查清单

• □ 先把 cm、ms 全部换成国际单位，再代公式。
• □ 写原始公式 v = d/Δt 与 v₂²−v₁² = 2as，再代数；公式本身有分。
• □ 说明 v̄ 是「挡光时间内的平均速度」，并写出它对应的中点时刻。
• □ 用第二条路径（时间式或位移式）回代验算，确认数值闭环。
• □ 误差结论必须带前提条件，别只背「越小越准」；换挡光片要重测 Δt。

光电门题的全部难点都在「近似」二字：d/Δt 是平均速度，匀变速让它精确对应中点时刻，于是取法一致时两次测量的偏差会互相抵消。把对应时刻讲清、把两条求 a 的路互算一遍，数值就自己会证明有没有算错。本题 d、Δt、s 与 a 均为自编示意数据，三处回代闭环，不代表真实测量记录。