联招数学·导数最优化应用题：容积、用料与利润的建模

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

应用题的固定四步：①设变量并写出定义域（长度、数量、价格的实际限制）；②把目标量写成单变量函数；③求导找驻点；④验证是最大/最小并回代实际量。第①步和第④步是丢分重灾区。

验证最值常用两法：看导数在驻点两侧由正变负（极大）还是由负变正（极小），或算二阶导符号；再补一句端点趋势（开区间端点取不到时尤其要写）。下面三题均为自编题，情境与数值自拟。

二、题目呈现

题1 无盖盒容积（自编）

用一块边长为 24 cm 的正方形薄板，四角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，折成一个无盖长方体盒。求 x 取何值时盒的容积最大，并求最大容积。

题2 圆柱形罐用料（自编）

要做一个容积为 16π cm³ 的无盖圆柱形容器（有底、无盖），底面半径 r、高 h。求 r 与 h 取何值时所用材料面积最小，并求最小面积（材料面积 = 底面积 + 侧面积）。

题3 定价利润（自编）

某自编情境中，某商品单价为 p 元时，预计销量为 q = 120 − 2p 件（20 ≤ p ≤ 50），每件成本 20 元。求 p 取何值时总利润最大，并求最大利润；若固定成本另计 200 元，最优定价是否改变？

三、分步解析

题1　设剪去小正方形边长 x，则盒底边长 24 − 2x、高 x。定义域：0 < x < 12（x>0 且 24−2x>0）。容积 V(x) = x(24 − 2x)² = 4x(12 − x)² = 4(x³ − 24x² + 144x)。
V′(x) = 4(3x² − 48x + 144) = 12(x² − 16x + 48) = 12(x − 4)(x − 12)。在 (0,12) 内唯一驻点 x = 4（x=12 是端点，不在定义域内）。当 0<x<4 时 V′>0，4<x<12 时 V′<0，故 x=4 处 V′ 由正变负，取极大值且为最大值。
V(4) = 4 × (24 − 8)² = 4 × 256 = 1024 cm³。端点趋势：x→0⁺ 或 x→12⁻ 时 V→0，进一步确认是最大值。答：剪去边长 4 cm 时容积最大，为 1024 cm³。回代：底边长 16 cm、高 4 cm，16×16×4 = 1024 ✓。

题2　由容积 πr²h = 16π 得 h = 16/r²，定义域 r > 0。材料面积 S(r) = πr² + 2πrh = πr² + 2πr·(16/r²) = πr² + 32π/r。
S′(r) = 2πr − 32π/r² = 2π(r³ − 16)/r²。令 S′=0 得 r³ = 16 → r = 16^(1/3) = 2·2^(1/3) = 2∛2 ≈ 2.52 cm。当 0<r<∛16 时 S′<0，r>∛16 时 S′>0，S′ 由负变正，取极小值且为最小值（r→0⁺ 或 r→+∞ 时 S→+∞，端点趋势亦确认）。
h = 16/r² = 16/16^(2/3) = 16^(1/3) = r，即 h = r = ∛16 ≈ 2.52 cm。最小面积 S = π·16^(2/3) + 32π/16^(1/3)；因 32π/16^(1/3) = 2π·16^(2/3)，故 S_min = 3π·16^(2/3) = 3π·(2∛2)² = 12π·2^(2/3) ≈ 59.8 cm²。回验：πr²h = π·(16^(2/3))·(16^(1/3)) = π·16 = 16π ✓。

题3　单件利润 = p − 20，总利润 L(p) = (p − 20)(120 − 2p) = −2p² + 160p − 2400，定义域 20 ≤ p ≤ 50（题给；p=20 时利润为 0，p=50 时 q=20 件仍为正）。
L′(p) = −4p + 160，令 L′=0 得 p = 40，落在定义域内。L″(p) = −4 < 0，故 p=40 处取极大值且为闭区间最大值。q = 120 − 80 = 40 件，L(40) = (40−20)×40 = 800 元。端点核对：L(20)=0、L(50)=(30)×20=600，均小于 800 ✓。
固定成本 200 元：新利润 L₁(p) = L(p) − 200，是把原函数整体下移一个常数，L₁′(p) = L′(p) 不变，驻点仍是 p=40，故最优定价不变（仍为 40 元），最大利润变为 800 − 200 = 600 元。这一问考的是「常数不影响极值点」，答题要点明导数不变。

建模四步校验　三题回看：题1 定义域 0<x<12 排除了 x=12 这个「伪驻点」；题2 用 r>0 与端点 +∞ 确认唯一极小即最小；题3 用闭区间端点值比对，避免只凭二阶导就下结论。凡是「最大值/最小值」，答案里必须同时出现驻点、验证理由、实际量（带单位）、端点/趋势说明四件。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 不写定义域：题1 把 x=12 当成驻点，题3 忘记 p 的区间限制。
• 题1 把 V=x(24−2x)² 展开时漏系数 4，或求导后不会因式分解。
• 题2 忘记「无盖」，把面积写成 2πr²+2πrh，多算一个底。
• 题2 用容积消元后不写 r>0，或用 S′=0 解出 r 却不算 h。
• 只求驻点不验证：不写导数符号变化、二阶导或端点趋势，最值结论没依据。
• 题3 把「销量 q」当利润，或把固定成本误当成会移动最优定价（其实只下移常数）。
• 闭区间题只凭二阶导就下结论，不比对端点值。
• 结果漏单位（cm、cm³、元），或答的是驻点而不是题目问的实际量。

六、小结与自查清单

• □ 第一句先写「设…为 x，由实际意义 0<x<…」。
• □ 把目标量写成只含一个变量的函数，消元步骤不跳。
• □ 求导后尽量因式分解，符号表才好列。
• □ 驻点必须验证：符号变化或二阶导，再加端点/趋势。
• □ 闭区间应用题逐个算端点值比对。
• □ 常数项（固定成本）只影响函数值，不影响极值点，单独说明。
• □ 答案带单位并回代原题条件核对一次。

最优化题真正拉分的是两处「不性急」：动笔先写定义域，收尾先验最值。中间的求导其实最机械。把「设元—建模—求导—验证—作答」写成固定五步，再记住「常数不改变极值点」，这类应用题就变成了流程题。本组情境、函数式与数值均为原创自编仿真内容。