题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
分类讨论不是「想到哪写到哪」，它有固定的分依据：①参数让最高次项消失（如 a=0 时二次变一次）；②导函数有没有零点（判别式、参数的正负）；③零点是否落在给定区间或定义域内。三处逐一看，支数自然确定。
写法上必须每支独立写结论，最后合并成一句总答案；只写「综上」不给过程分。下面三题均为自编题，参数自拟。
二、题目呈现
题1（自编）
设 f(x) = x³ − 3ax² + 3a²x + 1（a ∈ R）。求 f(x) 的极值，并讨论 a 的取值对结果的影响。
题2（自编）
设 g(x) = a x − ln x（a ∈ R，x > 0）。讨论 g(x) 的单调性与极值。
题3（自编）
设 h(x) = x³ − 3x + a，已知 h(x) 在区间 [0, 2] 上有且仅有一个极值点，求 a 的取值范围；并说明端点值是否计入「极值点」。
三、分步解析
题1 f′(x) = 3x² − 6ax + 3a² = 3(x − a)² ≥ 0，对一切 x 成立，且仅在 x = a 处取 0。分依据：导函数是否有变号零点。因为 (x−a)² 不变号，f′(x) 在 x=a 两侧同为正（a 任意实数，包括 a=0 时 f′=3x² 亦仅在 0 处为 0 且不变号），故 f(x) 在 R 上单调递增，无极值。结论与 a 无关，所有 a ∈ R 结论一致。回代验算：取 a=1，f(x)=x³−3x²+3x+1=(x−1)³+2，是 (x−1)³ 平移，确实单调递增、无极值 ✓；取 a=0，f(x)=x³+1，同样无极值 ✓。
题2 定义域 x>0。g′(x) = a − 1/x = (ax − 1)/x。因 x>0，分母恒正，符号由 ax − 1 决定。分依据：a 与 0 的关系（决定 ax−1 是否能为零）。
① a ≤ 0：ax ≤ 0 < 1，故 ax−1 < 0 恒成立，g′(x)<0，g 在 (0,+∞) 上单调递减，无极值。
② a > 0：令 ax−1=0 得 x = 1/a > 0（落在定义域内）。当 0<x<1/a 时 g′<0，x>1/a 时 g′>0，故在 x = 1/a 处取极小值，g(1/a) = a·(1/a) − ln(1/a) = 1 + ln a；无极大值。
回代验算：取 a=1，g(x)=x−ln x，g′(1)=0，g(1)=1 为极小值；g(0.5)=0.5+0.693=1.193>1 ✓，g(2)=2−0.693=1.307>1 ✓。取 a=−1，g(x)=−x−ln x，g′=−1−1/x<0 恒成立 ✓。
题3 h′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)。在 [0, 2] 内，唯一变号零点是 x = 1（x=−1 不在区间内）。注意 a 只影响函数值的上下平移，不影响导函数，因此 h′ 的零点与单调性与 a 完全无关：在 [0,1) 上 h′<0，(1,2] 上 h′>0，x=1 处 h′ 由负变正，是极小值点。故对任意 a ∈ R，h(x) 在 [0,2] 上有且仅有一个极值点 x=1，即 a 的取值范围为 R（全体实数）。
端点说明：极值点是区间内部的变号零点，端点 0 与 2 不计入极值点；它们参与的是「最值」比较：h(0)=a，h(1)=a−2，h(2)=2+a，故最小值为 a−2、最大值为 2+a，但这与「极值点个数」无关。回代验算：取 a=5，h(x)=x³−3x+5，h′=3(x²−1) 不变，x=1 处 h=3，h(0)=5、h(2)=7，仍是唯一极小点 ✓。
分类讨论四步法 ① 求导并化简到可判符号的因式形式（题1 化 3(x−a)²、题2 化 (ax−1)/x、题3 化 3(x−1)(x+1)）；② 找分依据：参数是否让某因式消失、零点是否存在、零点是否在定义域/区间内；③ 逐支列符号表并写出该支单调性与极值结论；④ 合并作答，每支结论独立成句，最后写「综上」。绝不在未分支前就下结论。
四、采分点对照
| 题号 | 答案 | 采分点 |
|---|---|---|
| 题1 | 对一切 a ∈ R 单调递增、无极值 | 求导并配方 2 分；指出 f′≥0 且不变号 2 分；讨论 a=0 与 a≠0 均同结论 1 分；结论 1 分 |
| 题2 ① | a≤0：单调递减、无极值 | 分出 a≤0 支 1 分；判 ax−1<0 1 分；结论 1 分 |
| 题2 ② | a>0：x=1/a 取极小值 1+ln a | 求零点 1/a 并验在定义域 2 分；两侧符号表 2 分；极小值计算 1 分 |
| 题3 | a ∈ R；唯一极值点 x=1；端点不计入 | 指出 a 不影响 h′ 2 分；筛出区间内唯一零点 1 分；端点与极值点区分 2 分；合并结论 1 分 |
五、高频易错点
- 题1 看到 f′=0 有解就写「x=a 是极值点」，忘了 (x−a)² 不变号——导数为零只是必要不充分条件。
- 题2 忘记定义域 x>0，把 x=1/a 在 a<0 时也当零点（此时 1/a<0 不在定义域内）。
- 题2 把 a=0 单独归到 a>0 支里，或用判别式讨论一个本来就是一次的方程。
- 分类只写「a>0 / a<0」两支，漏掉 a=0 这一支。
- 题3 误以为 a 会移动极值点，去解含 a 的区间条件，白算一圈。
- 把区间端点 0、2 当成极值点，混淆「极值」与「最值」。
- 只写一个「综上」结论，没有逐支独立结论，过程分被扣光。
六、小结与自查清单
| 分依据 | 触发信号 | 本题对应 |
|---|---|---|
| 参数使最高次项消失 | a=0 时次数下降 | 题2 的 a≤0 / a>0 |
| 导函数零点是否存在 | 判别式、因式是否能为零 | 题1 的 (x−a)² 恒 ≥0 |
| 零点是否落在定义域/区间 | x>0、[0,2] 等限制 | 题2 的 1/a、题3 的 x=−1 排除 |
| 零点是否变号 | 偶次因式 / 重根 | 题1 无极值、题3 x=1 变号 |
| 参数只影响函数值 | 导函数不含参数 | 题3 中 a 为常数项 |
- □ 求导后先化成因式乘积或分式，再判符号。
- □ 逐一问三件事：a=0 吗？零点存在吗？零点在定义域内吗？
- □ 每支独立写符号表与结论，最后才合并。
- □ 导数为零不等于极值，必须检查两侧是否变号。
- □ 有区间时先筛掉区间外的零点，再区分极值点与最值点。
- □ 结论回代一个具体参数值验算，30 秒确认分支没漏。
含参题真正的考点是「你凭什么分这几支」。把分依据写成显式三问——参数会不会让式子退化、零点存不存在、零点在不在范围内——支数就不会多也不会少。再加一句「导数为零未必是极值」，这类题的分就齐了。本组题目、函数式与参数均为原创自编仿真内容。
